Le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l'origine. Le point associé à un angle sur ce cercle est (cos, sin), donc un seul tableau réunit toutes les valeurs remarquables du sinus, du cosinus et de la tangente.
Dernière mise à jour
Ce cercle donne le sinus et le cosinus des seize angles remarquables, en degrés et en radians. Affichez aussi la tangente, ou passez à un cercle vierge à imprimer et à compléter.
Le cercle trigonométrique complet
Tableau des valeurs du cercle trigonométrique
Toutes les valeurs du cercle, dans un seul tableau. La tangente est le sinus divisé par le cosinus, elle n'a donc pas de valeur là où le cosinus vaut 0.
| Degrés | Radians | cos | sin | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | non définie |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | non définie |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Pourquoi le point est (cos, sin)
Déplacez le point autour du cercle et observez les deux côtés en pointillés.
Déplacez le point. Le côté vert est le cos et le rouge le sin : c'est pour cela que le point vaut (cos, sin).
Le cercle a pour rayon 1, et tout le secret est là. Tracez une droite depuis le centre jusqu'au cercle selon un certain angle, puis abaissez une verticale de ce point jusqu'à l'axe des x. Vous obtenez un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le rayon, donc l'hypoténuse vaut 1.
Dans ce triangle, le cosinus est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse. Le côté adjacent est le côté horizontal et l'hypoténuse vaut 1, donc le cosinus est le côté horizontal. Le même raisonnement fait du sinus le côté vertical. Le point est donc (cos(x), sin(x)) : la distance horizontale d'abord, puis la verticale, x avant y.
Les trois nombres à connaître
Le premier quadrant contient toutes les valeurs dont le cercle se sert :
| angle | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
Trois valeurs distinctes : 1/2, √2/2 et √3/2. Remarquez que 30° et 60° ont la même paire, inversée. Les deux angles font 90° à eux deux, donc leurs triangles sont le même triangle vu depuis l'autre extrémité.
Signes dans chaque quadrant
Tout angle hors du premier quadrant utilise l'un de ces trois nombres avec un signe. Pour le trouver, prenez l'angle de référence, l'angle entre la droite et l'axe des x : il manque 30° à 150° pour atteindre 180°, donc son angle de référence est 30° et ses valeurs sont celles de 30° avec de nouveaux signes.
Les signes viennent de la position du point. Le cosinus est la distance horizontale, il est donc négatif sur la moitié gauche du cercle. Le sinus est la distance verticale, il est donc négatif sur la moitié basse. Le cercle indique pour chaque quadrant ses signes de (cos, sin) :
| quadrant | angles | cos | sin | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° à 90° | + | + | + |
| II | 90° à 180° | − | + | − |
| III | 180° à 270° | − | − | + |
| IV | 270° à 360° | + | − | − |
Ainsi 150° donne (−√3/2, 1/2) et 210°, dont l'angle de référence est aussi 30°, donne (−√3/2, −1/2).
Le cercle trigonométrique en radians
Un tour complet vaut 360°, et aussi 2π radians, car la circonférence d'un cercle de rayon 1 vaut 2π : un radian est un arc de la longueur d'un rayon. Un demi-tour vaut 180° ou π.
De là, les angles remarquables sont des fractions de demi-tour. 30° est le sixième de 180°, donc π/6 ; 45° en est le quart, π/4 ; 60° le tiers, π/3. Le dénominateur indique combien de fois cet angle tient dans un demi-tour, et le numérateur les compte : 150° représente cinq sixièmes de demi-tour, 5π/6.
La tangente sur le cercle trigonométrique
La tangente est le quotient sin(x)/cos(x), c'est-à-dire la pente de la droite qui va du centre au point. À 45°, le sinus et le cosinus sont égaux, donc la tangente vaut exactement 1. À 30° elle vaut √3/3 et à 60° elle vaut √3.
À 90°, le point est tout en haut, en (0, 1), donc le cosinus vaut 0 et la tangente n'est pas définie : aucun nombre n'est égal à 1 divisé par 0, et une droite verticale n'a pas de pente. C'est pareil à 270°. Partout ailleurs, la tangente suit la règle des signes : positive là où le sinus et le cosinus ont le même signe (quadrants I et III), négative là où ils diffèrent. La version avec tangente du cercle affiche toutes les valeurs.
Quiz et exercices sur le cercle trigonométrique
Passez le cercle ci-dessus en mode Interrogez-moi : il cache les valeurs, vous les donnez, puis vous vérifiez. Ou répondez de mémoire à celle-ci :
Pour vous entraîner sur papier, imprimez le cercle vierge et complétez les seize points. Quand vous y arrivez en moins de deux minutes sans regarder, vous connaissez le cercle trigonométrique.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le cercle trigonométrique ?
C'est le cercle de rayon 1 centré à l'origine. Tracez une droite depuis le centre selon un angle et marquez l'endroit où elle coupe le cercle : les coordonnées de ce point sont exactement (cosinus de l'angle, sinus de l'angle). Le cercle transforme ainsi une question sur les triangles en une question sur les coordonnées, bien plus facile à se représenter.
Quelles sont les valeurs du cercle trigonométrique ?
Aux seize angles remarquables, chaque coordonnée vaut 0, 1/2, √2/2, √3/2 ou 1, avec un signe. Dans le premier quadrant : 30° donne (√3/2, 1/2), 45° donne (√2/2, √2/2) et 60° donne (1/2, √3/2). Chaque autre angle remarquable reprend l'une de ces paires avec les signes de son quadrant. Le tableau de cette page donne les seize, avec la tangente.
Où trouver un cercle trigonométrique vierge à imprimer ?
Ici. Le cercle en haut de cette page se télécharge en PDF au format Letter ou en PNG, en trois versions : avec les coordonnées, avec les coordonnées et la tangente, et vierge. La version vierge garde le cercle, les axes et les seize points, pour que vous remplissiez vous-même chaque valeur.
Pourquoi le point du cercle est (cos, sin) et pas (sin, cos) ?
Parce que le cosinus mesure la distance horizontale, et l'abscisse est la coordonnée horizontale. Abaissez une verticale du point jusqu'à l'axe des x : vous obtenez un triangle rectangle d'hypoténuse 1. Le côté horizontal est adjacent à l'angle, il vaut donc cos divisé par 1, c'est-à-dire cos. Le côté vertical est le côté opposé, c'est donc le sinus.
Comment retenir le cercle trigonométrique ?
Apprenez trois nombres et une règle. Les nombres sont 1/2, √2/2 et √3/2, les valeurs du premier quadrant. La règle est celle des signes : le cosinus est négatif sur la moitié gauche du cercle et le sinus est négatif sur la moitié basse. Tout autre angle est une valeur du premier quadrant avec ces signes, trouvée grâce à son angle de référence.
Comment convertir des degrés en radians ?
Un tour complet vaut 360 degrés et aussi 2π radians, donc un demi-tour vaut 180 degrés et π radians. Multipliez les degrés par π/180 pour obtenir des radians, ou les radians par 180/π pour obtenir des degrés. Ainsi 30° vaut π/6, 45° vaut π/4, 60° vaut π/3 et 90° vaut π/2.
Pourquoi la tangente n'est pas définie en 90 degrés ?
La tangente est le sinus divisé par le cosinus. À 90°, le point est tout en haut, en (0, 1), donc le cosinus vaut 0, et une division par 0 n'a pas de résultat. C'est pareil à 270°. On le voit aussi sur le cercle : la tangente est la pente de la droite issue du centre, et une droite verticale n'a pas de pente.
Cette formule et toutes celles qui vont avec, sur une fiche à imprimer :
Formules de trigonométrie