Le cercle trigonométrique
Un cercle de rayon 1, et avec lui toutes les valeurs de sinus, cosinus et tangente qu'on vous demandera de retenir. Déplacez l'angle et voyez d'où viennent les nombres.
Dernière mise à jour
Presque tout ce que les gens trouvent difficile en trigonométrie est en réalité un problème de mémoire : trop de valeurs, trop de signes, et aucun moyen de vérifier si celle qu'on vient d'écrire est plausible. Le cercle trigonométrique règle cela. C'est une seule image qui contient toutes les valeurs dont vous avez besoin, et qui rend un signe faux visiblement faux.
Déplacez le point ci-dessous. Regardez les deux côtés en pointillés pendant que vous tournez.
Déplacez le point. Le côté vert est le cos, le rouge le sin - c'est pour cela que le point vaut (cos, sin).
Pourquoi le point vaut (cos, sin)
Le cercle a pour rayon 1, et c'est là toute l'astuce.
Tracez une droite du centre jusqu'au cercle selon un angle quelconque, puis abaissez une verticale de ce point jusqu'à l'axe des x. Vous avez maintenant un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le rayon : l'hypoténuse vaut donc 1.
Dans ce triangle, le cosinus vaut côté adjacent sur hypoténuse. Le côté adjacent est le côté horizontal et l'hypoténuse vaut 1, donc le cosinus est le côté horizontal : diviser par 1 ne change rien. Le même raisonnement fait du sinus le côté vertical.
Les coordonnées du point sont donc exactement (cos(x), sin(x)) — d'abord la distance horizontale, ensuite la verticale. Voilà pourquoi le côté vert de la figure porte l'étiquette cosinus et le rouge sinus, et pourquoi l'ordre commence par le cosinus : x avant y, horizontal avant vertical.
La tangente est la troisième, et ce n'est pas une longueur sur le dessin : c'est le rapport sin(x)/cos(x), c'est-à-dire la pente de la droite que vous venez de tracer.
Les trois nombres dont vous avez vraiment besoin
Mettez la figure sur 30, 45 puis 60 degrés et regardez les valeurs :
| angle | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | sqrt(3)/2 | 1/2 |
| 45° | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 |
| 60° | 1/2 | sqrt(3)/2 |
Trois valeurs distinctes — 1/2, sqrt(2)/2 et sqrt(3)/2 — et remarquez que 30° et 60° donnent la même paire échangée. Ce n'est pas un hasard : les deux angles font 90° à eux deux, donc leurs triangles sont le même triangle vu par l'autre bout.
Tout ce qui se trouve dans les trois autres quadrants est l'un de ces trois nombres avec un signe devant. Lequel, cela dépend de l'endroit, et vous le lisez directement sur la figure : le cosinus est la distance horizontale, il est donc négatif sur la moitié gauche du cercle. Le sinus est la distance verticale, il est donc négatif sur la moitié basse. Rien à apprendre par cœur : regardez juste de quel côté pointe le côté.
Degrés et radians sont le même angle
Passez la figure en radians et tournez de nouveau. Rien ne change dans l'image, seule l'étiquette change.
Un tour complet vaut 360°, et aussi 2pi radians — parce que le périmètre d'un cercle de rayon 1 vaut 2pi, donc « un radian » signifie « un arc long d'un rayon ». Un demi-tour vaut 180° ou pi. À partir de là, les angles remarquables sont des fractions évidentes d'un demi-tour : 30° est le sixième de 180°, donc pi/6 ; 45° le quart, pi/4 ; 60° le tiers, pi/3.
Les radians ont l'air plus durs et sont en fait plus faciles, parce que le dénominateur vous dit combien de fois cet angle tient dans un demi-tour.
Là où la tangente casse
Déplacez jusqu'à 90° et l'affichage de la tangente indique non définie. Ce n'est pas une limite de l'outil, c'est de l'arithmétique. À 90° le point est droit au-dessus, en (0, 1), donc cos(x) vaut 0 — et la tangente est sin(x)/cos(x). Il n'existe aucun nombre égal à 1 divisé par 0.
La même chose se produit à 270°. Partout ailleurs la tangente est un nombre parfaitement ordinaire, et à 45° elle vaut exactement 1 — ce qui se comprend, puisque le sinus et le cosinus y sont égaux et que tout nombre divisé par lui-même vaut 1.
Essayez-en une
Mettez la figure de côté un instant et répondez de mémoire. En cas d'erreur, le cercle est juste là.
Si vous avez dû regarder, l'information est utile : cela veut dire que l'image n'est pas encore devenue automatique, et faire une douzaine d'exercices comme celui-ci est exactement ce qui y remédie.
Questions fréquentes
- Qu'est-ce que le cercle trigonométrique ?
- C'est le cercle de rayon 1 centré sur l'origine. Son utilité vient d'un seul fait : si vous tracez une droite depuis le centre selon un certain angle et que vous marquez son intersection avec le cercle, les coordonnées de ce point sont exactement (cosinus de l'angle, sinus de l'angle). Le cercle transforme donc une question sur les triangles en une question sur les coordonnées, ce qui est bien plus facile à se représenter.
- Pourquoi le point vaut-il (cos, sin) et non (sin, cos) ?
- Parce que le cosinus mesure la distance horizontale et que l'abscisse est la coordonnée horizontale. Abaissez une verticale du point jusqu'à l'axe des x et vous obtenez un triangle rectangle d'hypoténuse 1. Le côté horizontal est adjacent à l'angle, donc il vaut cosinus divisé par 1, c'est-à-dire le cosinus. Le côté vertical est opposé, donc c'est le sinus. L'abscisse est donc le cosinus et l'ordonnée le sinus, dans cet ordre.
- Faut-il apprendre par cœur tout le cercle trigonométrique ?
- Non, et essayer est l'erreur habituelle. Il n'y a que trois valeurs à connaître — 1/2, √2/2 et √3/2 — et une règle de signes. Tout le reste, ce sont ces trois nombres avec un plus ou un moins devant, choisi par le quadrant où vous êtes. Apprenez le premier quadrant et la règle des signes, et vous avez les seize angles.
- Comment passer des degrés aux radians ?
- Un tour complet fait 360 degrés et aussi 2π radians, donc un demi-tour fait 180 degrés et π radians. D'où la conversion : multipliez les degrés par π/180 pour obtenir des radians, ou les radians par 180/π pour obtenir des degrés. En pratique on le calcule rarement : 30, 45, 60 et 90 degrés valent π/6, π/4, π/3 et π/2, et tout autre angle remarquable est un multiple de ceux-là.
- Pourquoi la tangente n'est-elle pas définie à 90 degrés ?
- Parce que la tangente est le sinus divisé par le cosinus, et qu'à 90 degrés le cosinus vaut 0. Diviser par zéro ne donne aucun nombre, donc la tangente n'a pas de valeur là. Sur la courbe de la tangente, cela se voit comme une asymptote verticale : quand l'angle approche 90 degrés, la valeur part sans jamais arriver quelque part.
À vous de le faire, pour de vrai
Lire le calcul de quelqu'un d'autre n'est pas la même chose que savoir le faire. Le cours de maths de Coddy vous installe sur un tableau qui vérifie chacun de vos gestes : vous voyez donc où vous en êtes réellement.
