Fractions équivalentes
Deux fractions sans un seul chiffre en commun peuvent être la même quantité. Cela ressemble à un tour de passe-passe jusqu’à ce qu’on le voie une fois comme une longueur ; après, cela n’étonne plus.
Dernière mise à jour
Demandez à quelqu’un si 2/3 et 8/12 sont le même nombre et vous aurez en général une hésitation. Rien ne se ressemble : ni le haut, ni le bas, ni la taille des chiffres. Et pourtant c’est exactement la même quantité, sans rien d’arrondi.
La raison se voit plus facilement qu’elle ne se dit, la voici donc comme une longueur.
La ligne pointillée ne bouge jamais. Découper la même longueur en plus de morceaux change les deux nombres et ne change rien à la quantité colorée.
Ce qui ne change pas, c’est la longueur colorée
La barre du haut est découpée en 3 morceaux dont 2 sont colorés. Celle du bas est la même barre, découpée en 6, avec 4 colorés. Augmentez le multiplicateur et la barre du bas est découpée en 9, puis 12, puis 15 morceaux — et la ligne pointillée ne bouge jamais.
Cette ligne, c’est toute l’idée. Une fraction est une longueur, et les deux nombres ne sont qu’une description de la façon dont on l’a découpée. Le bas dit en combien de morceaux le tout a été coupé ; le haut, combien on en a pris. Coupez chaque morceau en deux et vous avez deux fois plus de morceaux, chacun deux fois plus petit, et vous en avez pris deux fois plus. Deux changements qui s’annulent.
Donc 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12, et la liste ne s’arrête pas : chaque fraction a une infinité de formes équivalentes.
En fabriquer une : multiplier le haut et le bas par le même nombre
Pour écrire une fraction autrement, multipliez les deux parties par le même nombre :
2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12
Le nombre est votre choix, et dans les vrais problèmes il est choisi pour une raison : le plus souvent parce qu’il vous faut un dénominateur précis. Si une question demande des tiers écrits sur 12, le multiplicateur est 4, car 3*4 = 12.
La seule règle qui compte : les deux parties, ou aucune. Multiplier seulement le haut donne 8/3, quatre fois trop grand. Déplacez le curseur du haut dans la figure et regardez la ligne pointillée sauter — voilà ce que fait un seul nombre changé.
La division marche pareil, à l’envers. 8/12 divisé en haut et en bas par 4 donne 2/3, et là encore rien n’a bougé.
À l’envers : simplifier
Descendre la liste plutôt que la remonter s’appelle simplifier, et c’est la forme attendue pour presque toutes les réponses. Divisez le haut et le bas par leur plus grand diviseur commun :
| fraction | diviseur commun | irréductible |
|---|---|---|
| 8/12 | 4 | 2/3 |
| 15/25 | 5 | 3/5 |
| 6/9 | 3 | 2/3 |
| 14/21 | 7 | 2/3 |
| 9/12 | 3 | 3/4 |
Une fraction est irréductible quand le seul entier qui divise les deux parties est 1. Remarquez que trois fractions d’apparences différentes dans ce tableau se réduisent à 2/3 — c’est précisément le point : elles étaient la même quantité depuis le début, écrites avec des découpes différentes.
Si le diviseur commun n’est pas évident, vous pouvez le sortir par étapes. 24/36 est pair, divisez par 2 pour obtenir 12/18 ; encore une fois pour 6/9 ; puis par 3 pour 2/3. Y arriver en trois étapes faciles ne vaut pas moins qu’en une seule astucieuse.
Pourquoi elles servent
Les fractions équivalentes ne sont pas un sujet à part. Elles existent parce qu’additionner des fractions est impossible sans elles.
1/2 + 1/3 ne peut pas être compté, parce qu’une moitié et un tiers sont des morceaux de tailles différentes. Réécrivez les deux sur 6 — 1/2 = 3/6 et 1/3 = 2/6 — et ce sont maintenant des morceaux d’une seule taille, donc ils s’additionnent tout simplement : 3/6 + 2/6 = 5/6.
Chaque mise au même dénominateur que vous ferez, ce sont deux fractions équivalentes écrites. C’est pourquoi cette idée vient en premier.
Essayez
Si vous avez trouvé 9/12, vous avez divisé une fois et vous vous êtes arrêté : 9 et 12 partagent encore un facteur 3. Continuez jusqu’à ce que le seul nombre qui divise les deux soit 1.
Questions fréquentes
- Que sont les fractions équivalentes ?
- Deux fractions sont équivalentes lorsqu’elles décrivent la même quantité, même si les nombres ont l’air différents. 2/3 et 8/12 sont équivalentes : découpez une barre en 3 morceaux et colorez-en 2, ou découpez la même barre en 12 morceaux et colorez-en 8, la partie colorée atteint exactement le même endroit.
- Comment trouver une fraction équivalente ?
- Multipliez le haut et le bas par le même nombre. 2/3 devient 4/6 (fois 2), 6/9 (fois 3), 8/12 (fois 4), et ainsi de suite indéfiniment. Multiplier les deux parties par le même nombre revient à découper chaque morceau en autant de morceaux plus petits : le nombre de morceaux change, la quantité non.
- Pourquoi ne peut-on pas multiplier seulement le numérateur ?
- Parce que le numérateur compte des morceaux et le dénominateur dit la taille d’un morceau. Ne changer que le numérateur revient à prendre plus de morceaux de la même taille, et c’est vraiment plus. Il faut changer la taille du morceau en même temps, et multiplier le dénominateur par le même nombre est ce qui le fait.
- Comment simplifier une fraction ?
- Divisez le haut et le bas par leur plus grand diviseur commun. Pour 8/12 ce diviseur est 4, donc 8/12 devient 2/3. Une fraction est irréductible quand le seul nombre qui divise les deux parties est 1, et c’est la forme attendue pour presque toutes les réponses.
- À quoi servent les fractions équivalentes ?
- À additionner et soustraire. Des morceaux de tailles différentes ne peuvent pas être comptés ensemble, donc 1/2 + 1/3 n’avance pas avant que les deux soient réécrites avec le même dénominateur : 3/6 + 2/6 = 5/6. Chacune de ces réécritures est une fraction équivalente, et c’est pourquoi toute l’arithmétique des fractions repose sur cette idée.
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