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Résous n'importe quelle équation du second degré, chaque étape écrite, en valeurs exactes.
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Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Une équation du second degré est toute équation que l'on peut écrire ax² + bx + c = 0, avec a non nul. La formule, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, les résout absolument toutes, ce qui est remarquable et mérite d'être apprécié. La factorisation ne marche que si les nombres se montrent aimables ; compléter le carré marche toujours mais demande de l'entraînement ; la formule marche toujours et ne demande que de la rigueur.
La partie qui fait le vrai travail se trouve sous la racine. b² - 4ac s'appelle le discriminant, et son signe décide de la forme de la réponse avant tout autre calcul : positif signifie deux racines, nul signifie une racine double, négatif signifie aucune solution réelle. Regarder le discriminant d'abord vous dit quel genre de réponse attendre, ce qui est la façon la plus rapide de repérer ensuite une erreur de calcul.
La formule n'est pas un seul geste, et c'est le malentendu le plus répandu à son sujet. C'est une courte procédure : substituer, évaluer le discriminant, extraire la racine, séparer le ±, puis réduire chaque branche. Cette calculatrice parcourt les cinq pour que vous voyiez laquelle vous auriez ratée.
Tapez a, b et c dans les cases. Les entiers, les décimaux et les fractions comme 1/2 fonctionnent. Un terme absent signifie un coefficient nul : pour x² - 4 = 0, b vaut 0.
Tapez quelque chose comme 2x^2 - 5x + 2 = 0 dans le champ d'équation et appuyez sur Lire. Les termes des deux côtés sont regroupés à gauche automatiquement, donc 3x^2 = 2x + 1 fonctionne aussi.
La quatrième étape donne b² - 4ac. Notez son signe et prédisez la forme de la réponse — deux racines, une ou aucune — avant de faire défiler.
Si votre réponse divergeait, la question utile n'est pas quel nombre est correct mais à quelle étape les chemins se sont séparés. Trouvez cette ligne et l'erreur s'explique d'elle-même.
La formule n'est pas un axiome. C'est ce qu'on obtient en complétant le carré une seule fois sur l'équation générale, pour que personne n'ait à recommencer avec ses propres nombres. La parcourir une fois, c'est la différence entre retenir la formule et la comprendre.
a x^2 + b x + c = 0
a ne peut pas être nul : sans terme en x² il n'y a rien de quadratique à résoudre, et le 2a du dénominateur serait nul lui aussi.
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
Compléter le carré exige un x² sans coefficient, donc le a doit passer devant. C'est aussi l'étape qui installe le a au dénominateur, où il restera jusqu'au bout.
x^2 + (b/a) x = -c/a
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
La moitié de b/a vaut b/2a, et son carré vaut b²/4a². Toute la démonstration repose sur ce geste : c'est exactement ce qui manquait au membre de gauche pour être un carré parfait.
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
Voilà le discriminant, b² - 4ac, qui apparaît de lui-même avant qu'on lui donne un nom.
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
Les deux signes, puisque les deux ont le même carré. Le 2a sort de √(4a²) sous la forme |2a|, et le ± placé devant absorbe le signe dans les deux cas.
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
Aucune de ces sept lignes n'a utilisé un a, un b ou un c particulier : c'est pourquoi le résultat vaut pour toute équation du second degré. C'est aussi pourquoi le discriminant décide de la forme de la réponse : c'est le nombre sous la racine, et s'il est négatif, l'étape six n'a nulle part où aller.
La valeur de b² - 4ac décide de tout sur la forme de la réponse avant d'extraire la moindre racine.
| Discriminant | Racines réelles | La courbe | Exemple |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | Deux racines réelles distinctes | Coupe l'axe des x deux fois | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | Une racine double | Touche l'axe des x une fois | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | Pas de solution réelle | N'atteint jamais l'axe des x | x² + 2x + 5 = 0 |
| Un carré parfait | Deux racines rationnelles | Coupe en deux fractions ou entiers | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| Positif, non carré | Deux racines irrationnelles | Coupe en deux radicaux | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
a = 1, b = -5, c = 6Le discriminant vaut (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Sa racine carrée est exactement 1, donc les racines sont (5 + 1)/2 = 3 et (5 - 1)/2 = 2. Comme le discriminant est un carré parfait, les deux racines sont rationnelles et l'équation se factorise aussi en (x - 3)(x - 2) = 0. C'est le cas où factoriser aurait été plus rapide.
a = 2, b = -5, c = 2Le discriminant vaut 25 - 16 = 9, donc √9 = 3 et les racines sont (5 + 3)/4 = 2 et (5 - 3)/4 = 1/2. Remarquez que la seconde racine reste 1/2 et n'est jamais affichée 0,5 : une fraction est la valeur exacte, et le décimal en est une approximation qui se trouve être courte.
a = 1, b = -4, c = 1Le discriminant vaut 16 - 4 = 12, qui n'est pas un carré parfait. √12 se simplifie en 2√3, donc les racines sont (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. C'est là que la plupart des calculatrices commencent à afficher 3,7320508 et cessent d'être utiles : 2 + √3 est la réponse, et tout décimal en est un arrondi.
a = 1, b = 2, c = 5Le discriminant vaut 4 - 20 = -16. Aucun nombre réel élevé au carré ne donne un négatif, donc l'équation n'a pas de solution réelle et le raisonnement s'arrête là. La parabole reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses. Si votre cours a atteint les nombres complexes, les racines sont -1 ± 2i, mais que cela compte comme une réponse dépend du système de nombres dans lequel on vous a appris à travailler.
