Français
N'importe quel décimal en fraction exacte irréductible, périodiques compris.
Dernière mise à jour
Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Un décimal est une fraction écrite d'une certaine façon. 0,375 signifie trois cent soixante-quinze millièmes, c'est-à-dire 375/1000, qui se simplifie en 3/8. C'est toute la méthode pour un décimal fini : lire les chiffres sur la bonne puissance de dix, puis diviser le haut et le bas par leur PGCD.
Un décimal périodique demande quelque chose de plus astucieux, et c'est précisément la partie que presque aucune calculatrice ne montre. On ne peut pas écrire 0,1666… sur une puissance de dix, puisque les chiffres ne s'arrêtent jamais. On fabrique donc deux copies du nombre, décalées pour que leurs queues infinies coïncident, et on soustrait : les queues s'annulent exactement et il reste un entier ordinaire par lequel diviser.
Tout ici est exact. Rien n'est calculé en virgule flottante : 0,1 vaut un dixième et non le 0,1000000000000000055 qu'un ordinateur entend d'habitude, et une fraction comme 1/7 revient bien comme 1/7, pas comme quelque chose qui s'y arrondit.
Écrivez les chiffres après la virgule comme un entier et placez-le sur un 1 suivi d'autant de zéros. 0,375 a trois décimales, donc cela commence par 375/1000.
Cherchez le plus grand nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Pour 375 et 1000, c'est 125.
375 ÷ 125 = 3 et 1000 ÷ 125 = 8, donc 0,375 = 3/8. Si le PGCD vaut 1, la fraction était déjà irréductible.
Multipliez par une puissance de dix pour que le bloc périodique passe devant la virgule, soustrayez l'original (décalé si nécessaire) et les queues infinies s'annulent. Tapez 0.1(6) et cette page détaille chaque ligne.
Les conversions à connaître par cœur. Pour tout le reste, la calculatrice ci-dessus le fait exactement.
| Décimal | Fraction | Pourcentage |
|---|---|---|
| 0,1 | 1/10 | 10 % |
| 0,125 | 1/8 | 12,5 % |
| 0,2 | 1/5 | 20 % |
| 0,25 | 1/4 | 25 % |
| 0,333… (0,(3)) | 1/3 | 33⅓ % |
| 0,375 | 3/8 | 37,5 % |
| 0,5 | 1/2 | 50 % |
| 0,625 | 5/8 | 62,5 % |
| 0,666… (0,(6)) | 2/3 | 66⅔ % |
| 0,75 | 3/4 | 75 % |
| 0,875 | 7/8 | 87,5 % |
| 0,1666… (0,1(6)) | 1/6 | 16⅔ % |
0.375Trois décimales, donc on part de 375/1000. Le PGCD de 375 et 1000 vaut 125, et diviser les deux par lui donne 3/8. Deux lignes, et la seconde est le seul endroit où une erreur peut se cacher : se tromper de PGCD laisse 15/40, qui est juste mais pas irréductible et coûte généralement des points.
0.(3)Posons x = 0,333…. Multiplions par 10 : 10x = 3,333…. Les deux queues sont identiques, donc soustraire la première de la seconde laisse exactement 9x = 3 — aucune approximation nulle part — et x = 3/9 = 1/3. Le neuf au dénominateur n'est pas un hasard : un chiffre périodique donne toujours des neuvièmes.
0.1(6)Ici le 1 ne se répète pas mais le 6 si, donc il faut deux décalages. 100x = 16,666… et 10x = 1,666…, et la soustraction donne 90x = 15, soit x = 15/90 = 1/6. Le 90 vaut 9 (un chiffre périodique) fois 10 (un chiffre fixe), et c'est de là que vient tout dénominateur de ce type.
2.5La méthode ne change pas : 25/10, on simplifie par 5 et on obtient 5/2. Comme le haut dépasse le bas, c'est une fraction impropre, et la calculatrice donne aussi le nombre mixte 2½. La forme attendue dépend de l'énoncé : les fractions impropres se calculent mieux, les nombres mixtes se visualisent mieux.
