À combien d'écarts types une valeur se trouve de la moyenne, en exact, avec le centile où elle tombe.
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Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Prenez n'importe quelle valeur d'une distribution, soustrayez la moyenne et divisez par l'écart type. Le résultat est le nombre d'écarts types qui séparent la valeur du centre, et dans quelle direction. Un z de 2 signifie deux écarts types au-dessus de la moyenne ; un z de moins 0,5 signifie un demi-écart type en dessous. C'est toute la formule, et cela vaut la peine de la faire à la main une fois, parce que toute idée ultérieure en statistique, des intervalles de confiance aux tests d'hypothèse, est un score z déguisé.
Les scores z comptent parce qu'ils placent toutes les distributions normales sur une même règle. Une note de 85 à un examen de moyenne 70 et d'écart type 6 est z = 2,5 ; une taille de 190 cm dans une population de moyenne 175 et d'écart type 6 est aussi z = 2,5. Les deux se situent au même centile, environ le 99,4e, et une seule table sert aux deux. Cette page lit cette table pour vous, en dessinant la courbe avec l'aire sous votre valeur ombrée, et donne aussi la part au-dessus et la part située à cette distance de la moyenne.
L'arithmétique reste exacte ici. Un z de 15 sur 6 vaut 5/2, et la page affiche 5/2 avec 2,5 à côté, plutôt qu'un décimal qu'il faudrait arrondir quand les nombres sont moins commodes. Le centile, étant une aire sous une courbe, est nécessairement un décimal, et il est étiqueté comme tel.
Gardez le signe. Une valeur sous la moyenne donne une différence négative, et ce signe se retrouve dans la réponse.
Utilisez l'écart type de la population si vous l'avez, celui de l'échantillon si c'est tout ce qu'il y a. Gardez le résultat exact si la division ne tombe pas juste.
L'aire à gauche de z est la part de la population sous votre valeur. Les tables la listent ; cette page la calcule directement.
La valeur vaut la moyenne plus z fois l'écart type. C'est ainsi qu'un seuil de centile se retransforme en note.
Aire à gauche de z sur la courbe normale standard.
| z | Centile | Part au-dessus | Où on le rencontre |
|---|---|---|---|
| −2 | 2,3 % | 97,7 % | Deux écarts types en dessous |
| −1 | 15,9 % | 84,1 % | Un en dessous |
| 0 | 50 % | 50 % | La moyenne |
| 1 | 84,1 % | 15,9 % | Un au-dessus |
| 1,28 | 90 % | 10 % | Seuil des 10 % du haut |
| 1,645 | 95 % | 5 % | Test unilatéral à 5 % |
| 1,96 | 97,5 % | 2,5 % | Test bilatéral à 5 % |
| 2,33 | 99 % | 1 % | Seuil du 1 % du haut |
x = 85, μ = 70, σ = 685 moins 70 fait 15, et 15 sur 6 fait 5/2, donc z = 2,5. L'aire à gauche de 2,5 vaut 0,9938, donc la note se situe vers le 99,4e centile : moins d'un étudiant sur cent a fait mieux.
x = 48, μ = 50, σ = 2.548 moins 50 fait moins 2, et moins 2 sur 2,5 fait moins 4/5, donc z = −0,8. Environ 21 % des relevés sont plus bas. Un z négatif n'est pas un mauvais z ; il est simplement sous le milieu.
z = 1.645, μ = 1000, σ = 150La question inverse. Les 5 % du haut commencent à z = 1,645, et 1000 plus 1,645 fois 150 fait environ 1247. Basculez la page sur « trouver la valeur à un score z » pour voir la substitution.
z égale x moins la moyenne, le tout divisé par l'écart type. En symboles, z = (x − μ) / σ. Le résultat est le nombre d'écarts types qui séparent la valeur x de la moyenne, positif au-dessus et négatif en dessous.
Le centile est l'aire sous la courbe normale standard à gauche de z. Un z de 0 est le 50e centile, un z de 1 environ le 84e, un z de 2 environ le 97,7e. Saisissez la valeur ci-dessus et la page ombre cette aire sur la courbe et l'affiche.
Cela dépend entièrement de ce qui est mesuré. À un examen, un z positif élevé est bon. Pour une tension artérielle ou un délai de livraison, un z proche de zéro est bon et un grand z dans un sens ou l'autre est un signal d'alerte. Le score z dit à quel point une valeur est inhabituelle, pas si l'inhabituel est bienvenu.
Oui. Un score z négatif signifie que la valeur est sous la moyenne. Un z de −1 est un écart type en dessous, et environ 16 % d'une population normale se situe plus bas.
Réarrangez la formule : x = μ + zσ. Multipliez le score z par l'écart type et ajoutez la moyenne. Basculez la page en mode inverse et elle montre la substitution étape par étape.
Un score z utilise un écart type de population connu et la courbe normale. Une statistique t utilise un écart type d'échantillon et la courbe t, dont les queues plus épaisses tiennent compte de l'incertitude supplémentaire due à l'estimation de sigma à partir des mêmes données. Avec de grands échantillons, ils concordent ; avec de petits, le t est le choix honnête.
Parce qu'elle est exacte, et qu'un z arrondi est un centile arrondi. Un z de 5/2 vaut 2,5 de toute façon, mais un z de 7/3 n'est pas 2,33, et la page préfère afficher 7/3 avec 2,3333 à côté plutôt que de faire croire que le décimal est la réponse.
