Calculatrice de score z

Un score z est une distance mesurée en écarts types

Prenez n'importe quelle valeur d'une distribution, soustrayez la moyenne et divisez par l'écart type. Le résultat est le nombre d'écarts types qui séparent la valeur du centre, et dans quelle direction. Un z de 2 signifie deux écarts types au-dessus de la moyenne ; un z de moins 0,5 signifie un demi-écart type en dessous. C'est toute la formule, et cela vaut la peine de la faire à la main une fois, parce que toute idée ultérieure en statistique, des intervalles de confiance aux tests d'hypothèse, est un score z déguisé.

Les scores z comptent parce qu'ils placent toutes les distributions normales sur une même règle. Une note de 85 à un examen de moyenne 70 et d'écart type 6 est z = 2,5 ; une taille de 190 cm dans une population de moyenne 175 et d'écart type 6 est aussi z = 2,5. Les deux se situent au même centile, environ le 99,4e, et une seule table sert aux deux. Cette page lit cette table pour vous, en dessinant la courbe avec l'aire sous votre valeur ombrée, et donne aussi la part au-dessus et la part située à cette distance de la moyenne.

L'arithmétique reste exacte ici. Un z de 15 sur 6 vaut 5/2, et la page affiche 5/2 avec 2,5 à côté, plutôt qu'un décimal qu'il faudrait arrondir quand les nombres sont moins commodes. Le centile, étant une aire sous une courbe, est nécessairement un décimal, et il est étiqueté comme tel.

À savoir sur les scores z

• Le signe indique le côté. Négatif, c'est sous la moyenne, positif au-dessus ; un z de 0 est la moyenne elle-même.
• Presque tout se trouve à moins de trois. Environ 68 % d'une population normale est à moins d'un écart type, 95 % à moins de deux, 99,7 % à moins de trois. Un z de 4 est vraiment rare.
• Le centile est l'aire à gauche. Un z de 1,28 se situe vers le 90e centile, 1,645 au 95e, 2,33 au 99e.
• La même formule marche à l'envers. La valeur à un z donné est la moyenne plus z fois l'écart type, ce qui est la façon de fixer les seuils : les 5 % du haut d'un examen commencent à la moyenne plus 1,645 sigma.
• Un score z suppose une distribution à peu près normale. Le score lui-même se calcule toujours ; le centile n'a de sens que si la forme en cloche tient.

Comment trouver un score z à la main

1. 1

   Soustrayez la moyenne de votre valeur

   Gardez le signe. Une valeur sous la moyenne donne une différence négative, et ce signe se retrouve dans la réponse.

2. 2

   Divisez par l'écart type

   Utilisez l'écart type de la population si vous l'avez, celui de l'échantillon si c'est tout ce qu'il y a. Gardez le résultat exact si la division ne tombe pas juste.

3. 3

   Lisez le centile sur la courbe normale

   L'aire à gauche de z est la part de la population sous votre valeur. Les tables la listent ; cette page la calcule directement.

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   Pour l'inverse, multipliez et ajoutez

   La valeur vaut la moyenne plus z fois l'écart type. C'est ainsi qu'un seuil de centile se retransforme en note.

Scores z courants et leurs centiles

Aire à gauche de z sur la courbe normale standard.

Exemples détaillés

x = 85, μ = 70, σ = 6

x = 48, μ = 50, σ = 2.5

z = 1.645, μ = 1000, σ = 150

Les erreurs sur les scores z

• Diviser par la variance au lieu de l'écart type. La variance est le carré ; la réponse serait fausse d'un facteur sigma.
• Laisser tomber le signe. Un z de −1,5 et un z de 1,5 sont aux 7e et 93e centiles, pas au même endroit.
• Lire le mauvais côté de la table. Certaines tables donnent l'aire à gauche, d'autres l'aire entre la moyenne et z, d'autres la queue droite. Sachez laquelle vous tenez.
• Arrondir z avant de le chercher. Un z de 1,96 arrondi à 2,0 fait passer le centile de 97,5 à 97,7 ; sur un seuil, ce sont de vraies personnes.
• Utiliser un score z sur une distribution qui n'a rien de normal. Le nombre se calcule toujours ; le centile est une fiction.

FAQ sur le score z