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Plus grand commun diviseur par facteurs premiers partagés ou par l'algorithme d'Euclide.
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Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Un diviseur d'un nombre le divise exactement, sans reste : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Un diviseur commun à deux nombres apparaît dans les deux listes. Le plus grand commun diviseur est le plus grand qu'ils partagent : le plus grand nombre qui divise proprement les deux.
Le PGCD de 24 et 36 est 12. Les deux sont divisibles par 1, 2, 3, 4, 6 et 12, et 12 est le plus grand d'entre eux. En anglais on l'appelle aussi greatest common divisor (GCD) ou highest common factor (HCF) ; tous ces noms désignent exactement la même chose et celui qu'on vous a enseigné est surtout une question de géographie.
Son travail principal est de simplifier. Pour réduire 24/36 à sa forme irréductible, divisez les deux parties par leur PGCD : 24 ÷ 12 = 2 et 36 ÷ 12 = 3, ce qui donne 2/3 en une seule étape. Diviser par un diviseur commun plus petit fonctionne aussi mais vous oblige à recommencer, et c'est toute la raison de chercher le plus grand.
Tapez deux entiers ou plus séparés par des virgules ou des espaces : 24, 36 ou 54 24 36. Jusqu'à dix à la fois.
Le PGCD est en haut. Dessous, la même réponse est atteinte par les facteurs premiers partagés et, pour exactement deux nombres, par l'algorithme d'Euclide.
Chaque ligne est un premier. Le PGCD prend l'exposant le plus faible de la ligne, et toute ligne contenant un tiret disparaît entièrement, parce qu'un facteur partagé par seulement certains des nombres n'est pas commun.
Chaque ligne divise et note le reste ; la suivante recommence avec le diviseur et ce reste. Quand le reste atteint zéro, le précédent est votre réponse.
Les couples qui reviennent le plus, avec la raison et pas seulement le résultat.
| Nombres | PGCD | Pourquoi |
|---|---|---|
| 24 et 36 | 12 | Les deux partagent 2² et 3 |
| 48 et 18 | 6 | Les deux partagent 2 et 3 |
| 8 et 12 | 4 | Les deux partagent 2², mais seul 12 a un 3 |
| 15 et 25 | 5 | Les deux partagent un seul 5 |
| 8 et 9 | 1 | Aucun premier partagé : premiers entre eux |
| 7 et 21 | 7 | 7 divise 21, donc le plus petit nombre est le PGCD |
| 54, 24 et 36 | 6 | 2 et 3 apparaissent dans les trois |
24, 3624 = 2³ · 3 et 36 = 2² · 3². Pour chaque premier on prend l'exposant le plus petit : 2² (puisque 24 a trois 2 mais 36 seulement deux) et 3¹ (puisque 36 a deux 3 mais 24 seulement un). Cela donne 2² · 3 = 12. La voie d'Euclide est d'accord : 36 = 1 × 24 + 12, puis 24 = 2 × 12 + 0, donc le dernier reste non nul est 12.
24, 36Le PGCD est 12, donc divisez les deux parties par lui : 24 ÷ 12 = 2 et 36 ÷ 12 = 3, ce qui donne 2/3. Si vous n'aviez repéré que le facteur 2 vous auriez obtenu 12/18, puis 6/9, puis 2/3 : le même endroit, trois étapes plus tard. C'est le fait de trouver le plus grand commun diviseur qui en fait une seule étape.
8, 98 = 2³ et 9 = 3². Ils n'ont aucun premier en commun, donc il n'y a rien à mettre dans le PGCD et la réponse est 1. On dit de tels nombres qu'ils sont premiers entre eux. Cela signifie aussi que la fraction 8/9 est déjà irréductible.
48, 1848 = 2 × 18 + 12. Maintenant recommencez avec 18 et 12 : 18 = 1 × 12 + 6. Recommencez avec 12 et 6 : 12 = 2 × 6 + 0. Le reste est nul, donc le reste précédent, 6, est le PGCD. Remarquez que rien n'a jamais été décomposé : c'est pourquoi la méthode fonctionne sur des nombres de centaines de chiffres.
