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Plus petit commun multiple de n'importe quel ensemble de nombres, par trois méthodes, avec le raisonnement.
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Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Un multiple d'un nombre est ce qu'on obtient en le multipliant par un entier : les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16, et ainsi de suite indéfiniment. Un multiple commun à deux nombres apparaît dans les deux listes. Le plus petit commun multiple est le plus petit nombre présent dans les deux : le premier endroit où les deux rythmes de comptage se rejoignent.
Le PPCM de 4 et 6 est 12, parce que 12 est le premier nombre qui est à la fois multiple de 4 et multiple de 6. C'est littéralement tout ce que dit la définition, et si vous perdez le fil d'une méthode vous pouvez toujours revenir à écrire les deux listes.
Là où il gagne vraiment son salaire, c'est dans l'addition de fractions. Pour additionner 1/4 et 1/6 il faut un dénominateur commun, et le plus petit commun multiple de 4 et 6 donne le plus petit disponible : 12, donc 3/12 + 2/12 = 5/12. N'importe quel multiple commun conviendrait ; le plus petit vous laisse simplement moins à simplifier ensuite.
Tapez deux entiers ou plus séparés par des virgules ou des espaces : 12, 18 ou 4 6 8. Jusqu'à dix à la fois.
Le PPCM est en haut. Dessous, la même réponse est atteinte de trois façons : décomposition en facteurs premiers, liste des multiples et raccourci produit sur PGCD. Suivez celle que votre classe utilise.
Chaque ligne est un premier et chaque colonne un nombre. La cellule mise en évidence sur chaque ligne est l'exposant le plus élevé, celui que le PPCM retient. Multiplier la colonne de droite donne la réponse.
Si une méthode vous paraît être une astuce, regardez la liste des multiples. Le premier nombre qui apparaît sur toutes les lignes est le PPCM, directement issu de la définition.
Les couples qui reviennent le plus dans les exercices, avec la raison et pas seulement le résultat.
| Nombres | PPCM | Pourquoi |
|---|---|---|
| 4 et 6 | 12 | 2² du 4, 3 du 6 |
| 12 et 18 | 36 | 2² du 12, 3² du 18 |
| 3 et 5 | 15 | Aucun premier partagé, donc le PPCM vaut 3 × 5 |
| 6 et 8 | 24 | 2³ du 8, 3 du 6 |
| 10 et 15 | 30 | 2 du 10, 3 du 15, 5 des deux |
| 8, 9 et 21 | 504 | 2³, 3² et 7 : un premier de chacun |
| De 1 à 10 | 2520 | 2³ · 3² · 5 · 7 |
12, 1812 = 2² · 3 et 18 = 2 · 3². Pour chaque premier on prend l'exposant le plus grand : 2² du 12 et 3² du 18, ce qui donne 2² · 3² = 4 · 9 = 36. La liste le confirme : les multiples de 12 sont 12, 24, 36 et ceux de 18 sont 18, 36, donc 36 est le premier qu'ils partagent. Le raccourci est d'accord aussi : 12 × 18 = 216, et 216 ÷ 6 = 36.
3, 53 et 5 sont premiers et distincts, donc ils ne partagent aucun facteur. Dans ce cas le PPCM est simplement le produit : 15. C'est pourquoi le PPCM de deux nombres premiers, ou de deux nombres premiers entre eux, n'est jamais plus petit que leur produit.
4, 6Le PPCM de 4 et 6 est 12, donc 12 est le plus petit dénominateur commun. En réécrivant on obtient 3/12 + 2/12 = 5/12, qui n'a pas besoin d'être simplifié. Utiliser 24 à la place (aussi un multiple commun) aurait donné 6/24 + 4/24 = 10/24, correct mais avec une étape de réduction en plus.
8, 9, 218 = 2³, 9 = 3², 21 = 3 · 7. En prenant la puissance la plus élevée de chaque premier parmi les trois : 2³ du 8, 3² du 9 et 7 du 21. Cela donne 8 · 9 · 7 = 504. Remarquez que le 3 du 21 n'apporte rien, puisque le 9 fournit déjà une puissance de 3 plus élevée.
