Règles des exposants
Cinq règles que tout le monde recopie sur une fiche et que la moitié applique de travers. Écrites en multiplications répétées, aucune n'a besoin d'être mémorisée.
Dernière mise à jour
Tout le monde recopie les règles des exposants sur une fiche et, un trimestre plus tard, la moitié s'applique à la mauvaise chose. Ce n'est pas un défaut de mémoire. Une règle seulement mémorisée ne vous dit pas si elle s'applique ; elle finit donc utilisée partout où elle semble convenir.
Le remède est de cesser de les traiter comme des règles. Choisissez-en une ci-dessous et lisez la ligne du milieu.
La ligne du milieu est la démonstration. Chacune de ces règles devient évidente dès que les puissances sont écrites comme des multiplications répétées : vous n'avez donc jamais à vous fier à votre mémoire.
Chaque règle est un argument de comptage
a^3 est une abréviation. Ce qu'elle dit vraiment, c'est a · a · a : trois copies de a, multipliées. Dès que les deux membres d'une règle sont écrits ainsi, la règle cesse d'être une affirmation pour devenir un décompte.
Multiplier : deux copies à côté de trois copies font cinq copies.
a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5
Vous n'avez pas additionné les exposants parce qu'une règle le disait. Vous les avez additionnés parce que vous comptiez combien de a se retrouvaient sur la ligne.
Diviser : cinq copies sur deux copies, et deux se simplifient.
a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3
Puissance d'une puissance : trois copies de « deux copies » font six copies.
(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6
Trois règles, un seul argument. Si l'on confond « additionner » et « multiplier », c'est qu'on a mémorisé les verbes plutôt que le décompte.
Zéro et négatifs sont contraints, pas choisis
Ces deux-là ont l'air de conventions arbitraires. Elles ne le sont pas.
Prenez a3/a3. Quelque chose divisé par lui-même vaut 1. Mais la règle du quotient dit que cela vaut a^(3-3) = a^0. Les deux décrivent la même division, donc a^0 = 1 est la seule valeur qui garde les règles cohérentes.
Continuez à descendre. Chaque cran vers le bas divise une fois de plus par a :
| puissance | valeur pour a = 2 |
|---|---|
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
| 2⁻¹ | 1/2 |
| 2⁻² | 1/4 |
Rien ne change de direction à zéro : le halving continue simplement. Voilà tout ce qu'est un exposant négatif : a^-n = 1/a^n. Ce n'est en particulier pas un nombre négatif. 2^-3 vaut 1/8, qui est positif.
Les trois erreurs à nommer
Des bases différentes ne se combinent pas. 2^3 · 3^4 reste tel quel. Les règles comptent des copies de la même chose, et ici on compte deux choses différentes.
Additionner des termes n'est pas les multiplier. x^2 + x^3 n'est pas x^5. Écrivez-le : deux copies plus trois copies ne font pas cinq copies, c'est la somme de deux quantités distinctes. Rien ne se simplifie, rien ne se combine.
Les puissances se distribuent sur les produits, pas sur les sommes. (ab)^2 = a2b2 est vrai - deux copies de ab, c'est deux a et deux b. Mais (a+b)^2 n'est pas a^2 + b^2 ; cela se développe en a^2 + 2ab + b^2, et le terme du milieu est exactement ce que prédit la distributivité.
À vous
Si vous avez pris la calculatrice, refaites-le en simplifiant : quatre copies de 3 sur deux copies de 3 laissent deux copies, et deux copies de 3 font 9. C'est la version qui continue de fonctionner quand la base est x plutôt que 3.
La suite
Les règles des exposants font marcher l'arithmétique en notation scientifique, transforment une racine en puissance fractionnaire et permettent au logarithme de changer une multiplication en addition. Ces trois choses sont les mêmes cinq règles lues dans un autre sens - bonne raison de les tenir par l'argument plutôt que par cœur.
Questions fréquentes
- Quelles sont les règles des exposants ?
- Cinq suffisent presque partout : en multipliant des puissances de même base on additionne les exposants, en divisant on les soustrait, en élevant une puissance à une puissance on les multiplie, tout élevé à 0 vaut 1, et un exposant négatif signifie un sur la puissance positive. Les cinq découlent de l'écriture des puissances en multiplications répétées.
- Pourquoi tout nombre à la puissance zéro vaut-il 1 ?
- À cause de la règle du quotient. Un nombre divisé par lui-même vaut 1, et la règle du quotient dit que cette même division est la base élevée à l'exposant moins lui-même, soit 0. Les deux phrases décrivent la même division, donc a à la puissance 0 doit valoir 1. C'est contraint, pas décrété - la seule exception étant 0 puissance 0, laissé indéfini.
- Que signifie un exposant négatif ?
- Un inverse, pas un nombre négatif. 2 puissance -3 vaut 1/8, qui est positif. À mesure que l'exposant descend, on divise par la base : 8, 4, 2, 1, et en continuant on obtient 1/2, 1/4, 1/8. Un exposant négatif indique combien de fois diviser au lieu de multiplier.
- Quand puis-je additionner les exposants et quand non ?
- Uniquement si les bases sont identiques et qu'on multiplie. 2 au cube fois 2 à la quatrième donne 2 à la septième, mais 2 au cube fois 3 à la quatrième ne se combine pas du tout : ils comptent des choses différentes. Additionner les exposants en additionnant des termes est l'erreur la plus fréquente ici - x au carré plus x au cube n'est pas x à la cinquième.
- (a + b) au carré vaut-il a au carré plus b au carré ?
- Non, et cette erreur mérite d'être nommée. L'élévation au carré se distribue sur les produits, pas sur les sommes. (ab) au carré vaut bien a au carré fois b au carré, mais (a + b) au carré se développe en a au carré plus 2ab plus b au carré. Le terme du milieu manquant est justement ce que la boîte du développement rend visible.
À vous de le faire, pour de vrai
Lire le calcul de quelqu'un d'autre n'est pas la même chose que savoir le faire. Le cours de maths de Coddy vous installe sur un tableau qui vérifie chacun de vos gestes : vous voyez donc où vous en êtes réellement.
Envie de l'essayer avec vos propres nombres ?
Equation Solver Ouvrir la calculatrice