Un cylindre de rayon 3 et de hauteur 5
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r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π, soit environ 141,37. Élevez le rayon au carré avant de multiplier par la hauteur ; l'inverse donne 225π, cinq fois trop.
Calculatrice de volume
Six solides, chacun avec sa formule écrite avant d'être utilisée.
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Toute formule de volume est une aire fois une hauteur
Un prisme - un pavé, un cylindre, tout ce qui garde la même section sur toute sa hauteur - a pour volume l'aire de la base fois la hauteur. Cette seule idée couvre deux des six solides d'ici : un pavé vaut longueur × largeur × hauteur parce que son aire de base vaut longueur × largeur, et un cylindre vaut πr²h parce que sa base est un disque d'aire πr². Apprendre le motif vaut mieux qu'apprendre les formules séparément.
Ceux qui s'effilent - le cône et la pyramide - ne prennent exactement qu'un TIERS du prisme qui les contiendrait. Même base, même hauteur, un tiers du volume. Ce facteur 1/3 n'est pas arbitraire et c'est ce qu'on oublie le plus souvent sur ce sujet : un cône de la taille d'un cylindre en contient le tiers, ce qui se retient mieux après avoir versé l'un dans l'autre.
La sphère est l'exception avec 4/3πr³, et il faut la garder exacte pour la même raison que tout le reste ici : π est irrationnel, donc 36π est une réponse et 113,1 en est un arrondi. Cette page garde le symbole, donne le décimal à côté, et fournit l'aire de la surface et l'apothème partout où ils sont exacts.
Ce qu'il faut remarquer
- Pour tout ce qui a la forme d'un prisme, le volume vaut aire de la base × hauteur. Le voir ainsi transforme quatre formules en une idée plus la bonne formule d'aire.
- Un cône ou une pyramide vaut un tiers du prisme de même base et même hauteur. Oublier le 1/3 est l'erreur classique et rend la réponse exactement trois fois trop grande.
- Toutes les mesures doivent être dans la même unité avant de commencer, et le volume sort dans cette unité au CUBE. Mélanger centimètres et mètres est une erreur d'un facteur un million.
- Doubler une dimension double le volume ; doubler les trois le multiplie par huit. C'est pourquoi le volume croît bien plus vite que la longueur.
- π appartient à la réponse, pas au calcul. 45π est exact, et le multiplier en 141,37 à la fin ne coûte rien et se vérifie facilement.
- L'apothème d'un cône n'est pas sa hauteur. C'est l'hypoténuse du rayon et de la hauteur, d'où la racine carrée - et c'est ce dont l'aire latérale a besoin, pas le volume.
Comment trouver un volume
Identifiez le solide et écrivez sa formule
Faites-le avant de toucher un nombre. Cube s³, pavé Llh, cylindre πr²h, sphère 4/3πr³, cône 1/3πr²h, pyramide à base carrée 1/3s²h.
Vérifiez que les unités concordent
Convertissez tout dans la même unité d'abord. C'est l'étape qui ruine silencieusement les réponses, car le calcul qui suit paraît impeccable.
Substituez les mesures
Écrivez la formule avec vos nombres dedans avant de calculer. Sur une question notée, cette ligne substituée vaut souvent un point à elle seule.
Faites les puissances avant les produits
Pour un cylindre de rayon 3 et de hauteur 5 : élevez d'abord 3 au carré pour obtenir 9, puis 9 · 5 = 45, soit 45π. Multiplier avant d'élever donne un autre nombre, et faux.
Donnez la réponse en unités cubes
Un rayon en centimètres donne un volume en centimètres cubes. Laissez π en place sauf si un décimal était demandé.
Les six formules, avec une valeur calculée
Chaque formule et ce qu'elle donne sur un petit exemple. Remarquez le 1/3 des deux solides qui s'effilent.
| Solide | Formule | Exemple | Volume exact | Décimal |
|---|---|---|---|---|
| Cube | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| Pavé droit | L · l · h | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| Cylindre | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| Sphère | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| Cône | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| Pyramide à base carrée | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| Sphère | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| Cylindre | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
Exemples résolus
Une sphère de rayon 3
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r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π, environ 113,1. Le 27 et le 4/3 se simplifient joliment ici, d'où le choix du rayon 3 dans tous les manuels. Son aire vaut aussi 4πr² = 36π - une coïncidence propre à r = 3.
Un cône de rayon 3 et de hauteur 4
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r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π, environ 37,7. Comparez au cylindre de même base et même hauteur, qui contient 36π : le cône en fait exactement le tiers. Son apothème vaut √(3² + 4²) = 5, dont le volume n'a pas besoin mais l'aire latérale si.
Un cube de côté 4
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s = 4V = s³ = 4³ = 64, et pas de π du tout. Son aire vaut 6s² = 96, car un cube a six faces carrées identiques. Les deux réponses sont entières, ce qui en fait le bon exemple pour vérifier sa méthode.
Quand la réponse garde une fraction : sphère de rayon 2
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r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3, environ 33,51. Le 3 ne divise pas 32 : la réponse exacte garde donc la fraction - écrire 33,5 la perd, et dans toute question qui poursuit avec cette valeur l'erreur voyage.
Erreurs fréquentes
- Oublier le 1/3 d'un cône ou d'une pyramide. La réponse sort exactement trois fois trop grande, l'erreur la plus facile à repérer quand on sait la chercher.
- Mélanger les unités. Convertissez d'abord : un rayon en centimètres avec une hauteur en mètres produit un nombre qui ne veut rien dire.
- Multiplier avant d'élever. Dans πr²h c'est le rayon qui est élevé, pas le produit - π · (3 · 5)² est une quantité tout autre.
- Prendre le diamètre pour le rayon. Cela double r, ce qui multiplie le volume d'un cylindre par quatre et celui d'une sphère par huit.
- Confondre volume et aire de la surface. L'un est l'espace intérieur et s'exprime en unités cubes ; l'autre est la peau et s'exprime en unités carrées.
- Utiliser l'apothème dans le volume d'un cône. Le volume demande la hauteur perpendiculaire ; l'apothème sert à l'aire latérale.
FAQ sur le volume
Quelle est la formule du volume d'un cylindre ?
V = πr²h - l'aire du disque de base fois la hauteur. Pour un rayon de 3 et une hauteur de 5 cela vaut π · 9 · 5 = 45π, environ 141,37. Élevez le rayon au carré avant de multiplier par la hauteur.
Quel est le volume d'une sphère ?
V = 4/3 πr³. Une sphère de rayon 3 contient 4/3 · π · 27 = 36π, environ 113,1. C'est la seule formule d'ici qui ne se lise pas comme aire de base fois hauteur : elle doit donc être mémorisée.
Pourquoi y a-t-il un 1/3 dans les formules du cône et de la pyramide ?
Parce qu'un cône ou une pyramide contient exactement un tiers du prisme de même base et de même hauteur. Versez un cône plein dans un cylindre de même taille : il en remplit le tiers. Le facteur est un fait sur l'effilement, pas un bricolage.
Dans quelles unités sort un volume ?
Dans l'unité de vos mesures, au cube. Des centimètres donnent des centimètres cubes ; des mètres, des mètres cubes. Toutes les mesures doivent être converties dans la même unité AVANT le calcul, sinon la réponse ne veut rien dire.
Comment trouver le volume d'un pavé droit ?
Multipliez les trois dimensions : V = L · l · h. C'est aire de base fois hauteur comme pour tout prisme, puisque l'aire de base d'un pavé vaut L · l. Un pavé de 2 sur 3 sur 4 contient 24 unités cubes.
Quelle différence entre volume et aire de la surface ?
Le volume est l'espace intérieur, en unités cubes ; l'aire de la surface est l'aire totale de l'extérieur, en unités carrées. Cette page donne les deux partout où l'aire est exacte - cube, pavé, cylindre et sphère.
Qu'est-ce que l'apothème d'un cône ?
La distance du sommet jusqu'au bord en descendant le long du côté : √(r² + h²), par le théorème de Pythagore sur le rayon et la hauteur. Il est plus long que la hauteur, c'est lui qu'utilise l'aire latérale, et il ne joue aucun rôle dans le volume.
Pourquoi garder π symbolique ?
Parce que 45π est exact et 141,37 un arrondi. Les énoncés d'examen demandent souvent la réponse en fonction de π précisément parce qu'elle se vérifie sans calculatrice, et arrondir tôt dans un problème à plusieurs étapes perd la précision dont les étapes suivantes ont besoin.
