Le classique : côtés 3 et 4
plain
a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25, et √25 = 5 exactement. C'est le triangle 3-4-5, le plus petit à trois côtés entiers, et il vaut la peine d'être reconnu d'un coup d'œil - comme ses multiples 6-8-10 et 9-12-15.
Calculatrice du théorème de Pythagore
Deux côtés sur un triangle dessiné donnent le troisième, exactement.
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Les carrés des côtés de l'angle droit donnent le carré de l'hypoténuse
Sur un triangle rectangle, et seulement là, a² + b² = c², où c est l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit, et toujours le plus long des trois. L'énoncé parle d'AIRES : construisez un carré sur chacun des deux petits côtés et leur aire réunie vaut exactement l'aire du carré construit sur le plus long. C'est pour cela que tout passe au carré, et pour cela que la réponse demande une racine à la fin.
Le sens du calcul dépend du côté manquant, et c'est là que vivent presque toutes les erreurs. Pour l'hypoténuse, on AJOUTE les deux carrés. Pour un côté de l'angle droit, on SOUSTRAIT : a² = c² − b², car le carré de l'hypoténuse est le total et celui du côté connu n'en est qu'une part. Additionner au lieu de soustraire donne une réponse plus grande que l'hypoténuse, ce qui est impossible - une vérification bien utile.
Les réponses ici sont exactes. L'hypoténuse d'un triangle de côtés 2 et 3 vaut √13, et c'est √13 que cette page affiche - avec 3,6056 à côté, étiqueté comme l'arrondi qu'il est. √20 est simplifié en 2√5 plutôt que laissé tel quel, et un triangle dont les trois côtés tombent juste est signalé comme le triplet pythagoricien qu'il est.
Ce qu'il faut remarquer
- Le théorème ne vaut que sur un triangle rectangle. Sur tout autre, a² + b² et c² sont simplement deux nombres différents - là, la loi des cosinus est la version générale.
- c est toujours le plus long côté. Si votre hypoténuse sort plus petite qu'un côté de l'angle droit, une addition est devenue une soustraction quelque part.
- Trouver un côté de l'angle droit est une soustraction. a² = c² − b² découle directement du théorème, et c'est le cas raté bien plus souvent que l'hypoténuse.
- Presque toutes les réponses sont irrationnelles. Les triangles à trois côtés entiers - 3-4-5, 5-12-13 - sont l'exception, d'où l'importance de la forme radicale.
- L'aire d'un triangle rectangle vaut ab/2 : les deux côtés de l'angle droit multipliés puis divisés par deux. L'hypoténuse n'intervient pas, puisque les deux autres se coupent déjà à angle droit.
- Tout multiple d'un triplet est un triplet. 3-4-5 multiplié par 3 donne 9-12-15, d'où le retour incessant des mêmes triangles dans les exercices.
Comment trouver le côté manquant
Repérez l'hypoténuse
C'est le côté opposé à l'angle droit, et le plus long des trois. Se tromper ici fausse toutes les étapes suivantes : étiquetez-la avant de calculer quoi que ce soit.
Décidez : addition ou soustraction
Hypoténuse manquante : additionnez les carrés des deux autres côtés. Côté manquant : soustrayez le carré du côté connu de celui de l'hypoténuse.
Élevez au carré les côtés connus
D'abord le carré, ensuite l'addition ou la soustraction. Élever après avoir additionné - (a + b)² - donne un nombre différent et beaucoup plus grand.
Prenez la racine carrée
Cela défait le carré et donne le côté lui-même. Si elle ne tombe pas juste, simplifiez le radical au lieu de passer au décimal : √20 vaut 2√5.
Vérifiez l'ordre de grandeur
L'hypoténuse doit être plus longue que chacun des deux autres côtés et plus courte que leur somme. Si votre réponse enfreint l'une des deux règles, l'addition et la soustraction ont été échangées.
Les triangles rectangles en un coup d'œil
Les triplets à retenir, et ce qui se passe quand la réponse ne tombe pas juste. La colonne exacte est la réponse ; le décimal en est un arrondi.
| a | b | c | Exact | Décimal |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
Exemples résolus
Une hypoténuse irrationnelle : côtés 2 et 3
plain
a = 2, b = 34 + 9 = 13, donc l'hypoténuse vaut √13. C'est la réponse - 3,6056 en est un arrondi, et 3,6056 au carré donne 12,9999… et non 13. La plupart des triangles rectangles sont ainsi ; ceux à côtés entiers sont l'exception.
Simplifier le radical : côtés 2 et 4
plain
a = 2, b = 44 + 16 = 20, et √20 ne reste pas en l'état : 20 = 4 · 5, et le 4 sort de la racine en 2, donnant 2√5. Le même nombre, et la forme qu'attend tout barème.
Trouver un côté : hypoténuse 5, autre côté 4
plain
b = 4, c = 5Réarrangez d'abord : a² = c² − b² = 25 − 16 = 9, donc a = 3. Additionner aurait donné √41 ≈ 6,4, plus long que l'hypoténuse - impossible, et la vérification qui repère cette erreur immédiatement.
Côtés fractionnaires : 3/2 et 2
plain
a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4, et la racine carrée de 25/4 vaut 5/2 exactement. Les fractions restent des fractions de bout en bout, d'où la réponse 5/2 plutôt que 2,5 - même si ici c'est le même nombre.
Erreurs fréquentes
- Additionner quand le côté manquant n'est pas l'hypoténuse. Le carré de l'hypoténuse est le TOTAL : trouver un autre côté, c'est en retirer quelque chose.
- Élever la somme au carré au lieu de sommer les carrés. a² + b² n'est pas (a + b)² ; le second est plus grand de 2ab, jamais nul pour un vrai triangle.
- Étiqueter le mauvais côté comme hypoténuse. C'est celui opposé à l'angle droit, pas simplement le dernier tracé ou celui de droite.
- Oublier la racine carrée. 3² + 4² = 25 est le carré de la réponse, pas la réponse : l'hypoténuse vaut 5, pas 25.
- Appliquer le théorème à un triangle sans angle droit. Il n'est vrai que pour les triangles rectangles ; sinon il faut la loi des cosinus.
- Arrondir le radical trop tôt. √13 au carré vaut exactement 13, mais 3,61 au carré vaut 13,0321 - et dans un problème à plusieurs étapes cette erreur grossit.
FAQ sur le théorème de Pythagore
Que dit le théorème de Pythagore ?
Sur un triangle rectangle, a² + b² = c², où a et b sont les deux petits côtés et c l'hypoténuse, opposée à l'angle droit. Lu en termes d'aires : les carrés construits sur les deux petits côtés ont exactement l'aire réunie du carré construit sur l'hypoténuse.
Comment trouver l'hypoténuse ?
Élevez les deux côtés au carré, additionnez, prenez la racine : c = √(a² + b²). Pour 3 et 4 cela donne √25 = 5. Si la racine ne tombe pas juste, gardez-la sous forme de radical simplifié : √20 devient 2√5.
Et pour trouver un côté de l'angle droit ?
On soustrait, on n'additionne pas : a² = c² − b², donc a = √(c² − b²). Avec une hypoténuse de 5 et un côté de 4, cela vaut √(25 − 16) = 3. C'est le cas le plus souvent raté, et la vérification est qu'un côté doit toujours être plus court que l'hypoténuse.
Qu'est-ce qu'un triplet pythagoricien ?
Trois entiers qui vérifient le théorème : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Tout multiple d'un triplet en est un aussi, donc 6-8-10 et 9-12-15 viennent gratuitement avec 3-4-5. La plupart des triangles rectangles ne sont PAS des triplets, d'où la normalité des réponses irrationnelles.
Le théorème marche-t-il sur n'importe quel triangle ?
Non, seulement sur les triangles rectangles. Pour les autres, l'énoncé général est la loi des cosinus, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), qui se réduit au théorème de Pythagore exactement quand C vaut 90° et que son cosinus est nul.
Pourquoi cette page garde-t-elle les racines plutôt que des décimaux ?
Parce que le radical est la réponse exacte et le décimal un arrondi. √13 au carré vaut 13 pile ; 3,61 au carré vaut 13,0321. Dans un problème à plusieurs étapes cet écart s'accumule, et la plupart des barèmes veulent de toute façon la forme exacte.
Comment vérifier qu'un triangle est rectangle ?
Testez le théorème sur les trois côtés : si a² + b² vaut exactement c², avec c le plus long, le triangle a un angle droit. Si le membre de gauche est plus grand, l'angle est aigu ; s'il est plus petit, obtus. C'est la réciproque du théorème, et une vérification vraiment utile.
La calculatrice accepte-t-elle fractions et décimaux ?
Oui, et les deux restent exacts. Des côtés de 3/2 et 2 donnent une hypoténuse de 5/2 exactement, et un décimal saisi est lu comme la fraction exacte qu'il nomme, non comme une approximation en virgule flottante.
