Calcolo intervallo di confidenza

Un intervallo di confidenza è una stima con la sua incertezza allegata

La media di un campione è un'ipotesi sulla media della popolazione, e un'ipotesi senza un intervallo è un'ipotesi che non puoi verificare. L'intervallo di confidenza è proprio quell'intervallo: la stima, più e meno un margine di errore. Il margine è un valore critico moltiplicato per l'errore standard, e ciascuno dei due fattori risponde a una domanda diversa. L'errore standard indica quanto si sposterebbe la stima da un campione all'altro; il valore critico indica quanti di quegli errori standard deve coprire l'intervallo per raggiungere il livello di confidenza che hai chiesto.

Per una media la pagina segue la ricetta classica. Dai dati grezzi calcola in modo esatto la media e la deviazione standard campionaria, lasciando la deviazione standard sotto forma di radicale; da un riepilogo prende i tuoi numeri così come sono. Con la deviazione standard stimata dal campione, il valore critico viene dalla curva t con n meno 1 gradi di libertà, che è la scelta onesta ed è quella predefinita qui; la versione z è a un clic di distanza, per una sigma nota o una n grande. Per una proporzione la pagina dà due intervalli: quello di Wald, che trovi nella maggior parte dei libri di testo, e quello di Wilson, che è quello da riportare, perché Wald si comporta male quando la proporzione è vicina a 0 o a 1 o il campione è piccolo.

L'intervallo è disegnato su una retta numerica sotto la risposta, con la stima segnata, perché l'immagine di un intervallo dice qualcosa che una coppia di numeri non dice: quanto è largo rispetto al punto in cui si trova. Un intervallo per una media che va da 4.9 a 5.1 e uno che va da 2 a 8 sono entrambi intervalli; solo uno dei due merita di essere riportato con tre decimali.

Cosa sapere sugli intervalli di confidenza

• "Confidenza al 95%" è un'affermazione sul metodo, non su questo intervallo. Costruisci intervalli in questo modo molte volte e circa il 95% conterrà il valore vero; ognuno, preso da solo, lo contiene oppure no.
• Livello più alto, intervallo più largo. Un intervallo al 99% copre circa 2.6 errori standard invece di 2, quindi è più largo di un terzo rispetto a uno al 95% sugli stessi dati.
• La larghezza si riduce con la radice quadrata di n. Con il quadruplo dei dati il margine di errore si dimezza; con cento volte i dati scende a un decimo.
• Usa t quando sigma è stimata dal campione. Con n = 10 il valore critico t al 95% è 2.26, non 1.96, e far finta di niente rende l'intervallo troppo stretto.
• Per una proporzione, riporta Wilson. L'intervallo di Wald può scendere sotto 0 o salire sopra 1 ed è inaffidabile con meno di circa 10 successi o insuccessi; Wilson resta dentro l'intervallo possibile e mantiene la copertura promessa.

Come costruire un intervallo di confidenza

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   Calcola la stima

   La media campionaria, o la proporzione campionaria. Tienila esatta se puoi; la pagina lo fa.

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   Calcola l'errore standard

   Per una media, la deviazione standard diviso radice di n. Per una proporzione, la radice di p(1 − p) diviso n.

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   Trova il valore critico

   Per una media con sigma stimata, dalla curva t con n meno 1 gradi di libertà al tuo livello. Per una sigma nota o una proporzione, dalla curva normale: 1.645, 1.960 o 2.576 per il 90, 95 o 99%.

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   Moltiplica per avere il margine, poi somma e sottrai

   Il margine di errore è il valore critico per l'errore standard. L'intervallo va dalla stima meno il margine alla stima più il margine.

Valori critici per un intervallo di confidenza

Quanti errori standard copre l'intervallo da ciascun lato della stima.

Esempi svolti

x̄ = 50, s = 10, n = 25, 95%

2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

40 successes in 100 trials

Errori con gli intervalli di confidenza

• Dire che c'è una probabilità del 95% che la media vera stia in questo intervallo. L'affermazione di probabilità riguarda la procedura su campioni ripetuti, non un singolo intervallo fisso.
• Usare z con un campione piccolo. Sotto circa n = 30, con sigma stimata dai dati, il valore critico t è sensibilmente più grande e l'intervallo z è troppo stretto.
• Riportare un intervallo di Wald per una proporzione rara. Con 2 successi su 20 l'intervallo di Wald scende sotto zero; quello di Wilson no, ed è quello da scrivere.
• Dividere per n invece che per radice di n nell'errore standard. Il margine verrebbe molto troppo piccolo.
• Leggere un intervallo stretto come un intervallo giusto. La larghezza è precisione, non accuratezza; un campione distorto dà un intervallo stretto attorno al numero sbagliato.
• Confrontare due intervalli che si sovrappongono e concludere che non c'è differenza. Due intervalli al 95% possono sovrapporsi anche quando la differenza tra le medie è significativa; verifica direttamente la differenza.

Domande frequenti sull'intervallo di confidenza