La tabella degli scarti riga per riga, la parte su cui vieni davvero valutato.
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Il corso di matematica di Coddy insegna il metodo vero e proprio: svolgi ogni passaggio su una lavagna interattiva e ti viene detto esattamente dove un passaggio è andato storto.
Prendi una lista di numeri e la sua media. Ogni valore sta a una certa distanza da quella media, e la deviazione standard è più o meno la grandezza tipica di quelle distanze. Non può essere la loro semplice media, perché le distanze sopra e sotto la media si annullano sempre esattamente a zero: quindi ognuna viene prima elevata al quadrato, si fa la media dei quadrati e la radice quadrata alla fine annulla il quadrato, così la risposta torna nelle unità di partenza.
Questa è tutta la formula, e la parte su cui vieni davvero valutato è quella centrale: la tabella con ogni valore meno la media, e ciascuna di quelle differenze al quadrato. Questa pagina stampa quella tabella per intero, con il totale che entrambe le varianze dividono. Le altre calcolatrici stampano sigma e si fermano, cioè proprio la parte che uno studente avrebbe potuto calcolare con il telefono.
I divisori sono due e la differenza conta. Dividi il totale per n quando i tuoi numeri SONO l'intero gruppo, cioè la popolazione. Dividi per n − 1 quando sono un campione che rappresenta qualcosa di più grande, perché la media di un campione sta un po' troppo vicina ai suoi stessi valori e dividere per uno in meno compensa. Qui vengono mostrate sempre entrambe, così il divisore è una scelta tua e non della pagina.
Somma tutti i valori e dividi per quanti sono. Tienila esatta: se la media è 7/3, non scrivere 2.33, perché quell'errore sta per essere elevato al quadrato.
Questi sono gli scarti. Alcuni sono negativi, e va bene così; come verifica, devono sommare esattamente a zero.
Il quadrato elimina i segni e dà più peso alle distanze grandi. Somma i quadrati: quel totale è la somma dei quadrati.
Per n se questi valori sono l'intero gruppo che ti interessa; per n − 1 se sono un campione di qualcosa di più grande. Il risultato è la varianza.
Questa è la deviazione standard. È nelle stesse unità dei dati di partenza, cosa che la varianza non era.
Gli stessi numeri con entrambi i divisori. Nota come la distanza tra le due risposte si riduce quando la lista si allunga.
| Valori | Media | Somma dei quadrati | σ (popolazione) | s (campione) |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 32 | 2 | 2.138 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 5 | 1.118 | 1.291 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 210 | 5.123 | 5.477 |
| 3, 3, 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 14/3 | 1.106 | 1.528 |
| 5, 15 | 10 | 50 | 5 | 7.071 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6 | 40 | 2.828 | 3.162 |
| 100, 100, 100, 200 | 125 | 7500 | 43.301 | 50 |
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9Gli otto valori sommano 40, quindi la media è 5. Gli scarti sono −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 (con somma zero, come deve essere), e i loro quadrati sommano 32. Diviso per n = 8 dà una varianza di 4, e la radice quadrata è esattamente 2. Come campione sarebbe 32/7, che dà circa 2.138.
1, 2, 3, 4La media è 2.5 e la somma dei quadrati è 5. Diviso per 4 la varianza è 5/4 e la deviazione standard è √5/2 ≈ 1.118; diviso per 3 è 5/3 e circa 1.291. La risposta campionaria è sempre più grande, perché la media di un campione sta un po' troppo attaccata ai suoi stessi valori.
1, 2, 4La media è 7/3, non 2.33. Gli scarti sono −4/3, −1/3 e 5/3, e i loro quadrati sono 16/9, 1/9 e 25/9, con totale 14/3. Arrotondare prima la media avrebbe buttato via una cifra prima ancora di cominciare a elevare al quadrato: ecco perché ogni riga della tabella qui è una frazione.
3, 3, 3Ogni scarto è zero, quindi la somma dei quadrati è zero e lo è anche la deviazione standard. È l'unico modo in cui una deviazione standard può essere zero: non "i numeri sono piccoli" ma "tutti i valori sono uguali".
100, 100, 100, 200Tre valori coincidono esattamente e uno no, e la deviazione standard è circa 43, più di un quarto dell'intero campo di variazione. È il quadrato delle distanze a dare tanto peso a quel singolo valore lontano, ed è proprio per questo che la misura è brava a segnalare i valori anomali.
Il divisore. La deviazione standard della popolazione divide la somma dei quadrati per n, perché i valori sono l'intero gruppo. Quella campionaria divide per n − 1, perché la media di un campione sta un po' troppo vicina ai suoi stessi valori e dividere per uno in meno lo compensa. La risposta campionaria è sempre la più grande delle due.
Se i tuoi numeri sono tutto ciò che ti interessa (i voti dell'intera classe, le altezze di tutti e sei i bambini) usa la formula della popolazione. Se sono un campione scelto per rappresentare qualcosa di più grande, usa n − 1. La maggior parte dei compiti di statistica chiede la versione campionaria, e quasi tutte le domande d'esame dicono quale vogliono.
Trova la media, sottraila da ogni valore, eleva al quadrato ciascuna differenza, somma i quadrati, dividi per n (o per n − 1) ed estrai la radice quadrata. Questa pagina stampa l'intera tabella, così puoi confrontare ogni riga con il tuo procedimento e non solo il numero finale.
Perché altrimenti sommano sempre esattamente a zero: le distanze positive e negative si annullano per definizione di media. Il quadrato elimina i segni e dà anche più peso alle distanze grandi, ed è per questo che un solo valore anomalo lontano sposta così tanto la deviazione standard.
La varianza è la media degli scarti al quadrato; la deviazione standard è la sua radice quadrata. Le unità della varianza sono al quadrato (chili quadrati, centimetri quadrati) e sono difficili da interpretare, quindi si prende la radice per riportare la risposta nelle unità dei dati.
Mai negativa: è la radice quadrata di una media di quadrati. Zero solo quando tutti i valori sono identici, perché è l'unico caso in cui non c'è distanza dalla media da misurare. Se ottieni un numero negativo, da qualche parte nella tabella si è perso un segno.
Più o meno quanto dista dalla media un valore tipico. Per dati con una distribuzione a campana, circa due terzi dei valori stanno entro una deviazione standard dalla media e circa il 95% entro due: è questo che la rende il metro di riferimento per chiedersi "questo valore è insolito?"
Perché sono le risposte esatte. La media di 1, 2 e 4 è 7/3, e ogni quadrato costruito su 2.33 è leggermente sbagliato. Il decimale viene offerto accanto al valore esatto, non al suo posto, ed è indicato come approssimazione ogni volta che la radice è irrazionale.
