Menu
Coddy logo textMath
INIZIA A IMPARARE
flag It iconItalianodown icon

Calcolo deviazione standard

La tabella degli scarti riga per riga, la parte su cui vieni davvero valutato.

Di Nethanel Bar, Cofondatore e CEO

Ultimo aggiornamento

Vuoi risolverli senza la calcolatrice?

Il corso di matematica di Coddy insegna il metodo vero e proprio: svolgi ogni passaggio su una lavagna interattiva e ti viene detto esattamente dove un passaggio è andato storto.

Inizia gratis

Una deviazione standard è una distanza media dalla media

Prendi una lista di numeri e la sua media. Ogni valore sta a una certa distanza da quella media, e la deviazione standard è più o meno la grandezza tipica di quelle distanze. Non può essere la loro semplice media, perché le distanze sopra e sotto la media si annullano sempre esattamente a zero: quindi ognuna viene prima elevata al quadrato, si fa la media dei quadrati e la radice quadrata alla fine annulla il quadrato, così la risposta torna nelle unità di partenza.

Questa è tutta la formula, e la parte su cui vieni davvero valutato è quella centrale: la tabella con ogni valore meno la media, e ciascuna di quelle differenze al quadrato. Questa pagina stampa quella tabella per intero, con il totale che entrambe le varianze dividono. Le altre calcolatrici stampano sigma e si fermano, cioè proprio la parte che uno studente avrebbe potuto calcolare con il telefono.

I divisori sono due e la differenza conta. Dividi il totale per n quando i tuoi numeri SONO l'intero gruppo, cioè la popolazione. Dividi per n − 1 quando sono un campione che rappresenta qualcosa di più grande, perché la media di un campione sta un po' troppo vicina ai suoi stessi valori e dividere per uno in meno compensa. Qui vengono mostrate sempre entrambe, così il divisore è una scelta tua e non della pagina.

Cosa notare

  • Gli scarti sommano sempre a zero. Non è una coincidenza: è proprio ciò che la media È, ed è per questo che serve elevare al quadrato prima di fare la media.
  • La varianza è la risposta prima della radice quadrata, e le sue unità sono al quadrato: i chili diventano chili quadrati, ed è per questo che si prende la radice per tornare ai chili.
  • Il divisore della popolazione è n e quello del campione è n − 1. La risposta campionaria è sempre la più grande delle due, e la differenza si riduce man mano che la lista cresce.
  • La deviazione standard non è mai negativa, ed è zero solo quando tutti i valori sono identici: non c'è dispersione da misurare.
  • Ha le stesse unità dei dati, a differenza della varianza. È il motivo pratico per cui di solito è il numero che si riporta.
  • Un solo valore anomalo la sposta molto, perché la distanza viene elevata al quadrato prima di essere contata. Questa sensibilità è un pregio quando vuoi notare i valori anomali e un fastidio quando non vuoi.

Come calcolare la deviazione standard a mano

  1. Trova la media

    Somma tutti i valori e dividi per quanti sono. Tienila esatta: se la media è 7/3, non scrivere 2.33, perché quell'errore sta per essere elevato al quadrato.

  2. Sottrai la media da ogni valore

    Questi sono gli scarti. Alcuni sono negativi, e va bene così; come verifica, devono sommare esattamente a zero.

  3. Eleva al quadrato ogni scarto

    Il quadrato elimina i segni e dà più peso alle distanze grandi. Somma i quadrati: quel totale è la somma dei quadrati.

  4. Dividi per n, o per n − 1

    Per n se questi valori sono l'intero gruppo che ti interessa; per n − 1 se sono un campione di qualcosa di più grande. Il risultato è la varianza.

  5. Estrai la radice quadrata

    Questa è la deviazione standard. È nelle stesse unità dei dati di partenza, cosa che la varianza non era.

Popolazione e campione, sulle stesse liste

Gli stessi numeri con entrambi i divisori. Nota come la distanza tra le due risposte si riduce quando la lista si allunga.

ValoriMediaSomma dei quadratiσ (popolazione)s (campione)
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 953222.138
1, 2, 3, 42.551.1181.291
10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16182105.1235.477
3, 3, 33000
1, 2, 47/314/31.1061.528
5, 15105057.071
2, 4, 6, 8, 106402.8283.162
100, 100, 100, 200125750043.30150

Esempi svolti

La lista da manuale: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

plain
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Gli otto valori sommano 40, quindi la media è 5. Gli scarti sono −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 (con somma zero, come deve essere), e i loro quadrati sommano 32. Diviso per n = 8 dà una varianza di 4, e la radice quadrata è esattamente 2. Come campione sarebbe 32/7, che dà circa 2.138.

Perché il divisore del campione dà di più: 1, 2, 3, 4

plain
1, 2, 3, 4

La media è 2.5 e la somma dei quadrati è 5. Diviso per 4 la varianza è 5/4 e la deviazione standard è √5/2 ≈ 1.118; diviso per 3 è 5/3 e circa 1.291. La risposta campionaria è sempre più grande, perché la media di un campione sta un po' troppo attaccata ai suoi stessi valori.

Una risposta esatta che non è un decimale: 1, 2, 4

plain
1, 2, 4

La media è 7/3, non 2.33. Gli scarti sono −4/3, −1/3 e 5/3, e i loro quadrati sono 16/9, 1/9 e 25/9, con totale 14/3. Arrotondare prima la media avrebbe buttato via una cifra prima ancora di cominciare a elevare al quadrato: ecco perché ogni riga della tabella qui è una frazione.

Nessuna dispersione: 3, 3, 3

plain
3, 3, 3

Ogni scarto è zero, quindi la somma dei quadrati è zero e lo è anche la deviazione standard. È l'unico modo in cui una deviazione standard può essere zero: non "i numeri sono piccoli" ma "tutti i valori sono uguali".

Cosa fa un valore anomalo: 100, 100, 100, 200

plain
100, 100, 100, 200

Tre valori coincidono esattamente e uno no, e la deviazione standard è circa 43, più di un quarto dell'intero campo di variazione. È il quadrato delle distanze a dare tanto peso a quel singolo valore lontano, ed è proprio per questo che la misura è brava a segnalare i valori anomali.

Errori comuni

  • Fare la media degli scarti senza elevarli al quadrato. Sommano a zero per qualsiasi lista mai scritta, quindi la risposta sarebbe sempre zero.
  • Arrotondare la media prima di sottrarre. Se la media è 7/3, lavorare con 2.33 rovina ogni quadrato che segue: tienila esatta fino alla fine.
  • Dividere per il conteggio sbagliato. n è per un'intera popolazione e n − 1 per un campione; usare n su dati campionari sottostima sempre la dispersione.
  • Riportare la varianza come deviazione standard. La varianza è il passaggio prima della radice, e le sue unità sono al quadrato: una non è una versione arrotondata dell'altra.
  • Dimenticare del tutto la radice. Se la risposta sembra troppo grande per i dati, di solito è per questo.
  • Considerare uno scarto negativo un errore. Circa metà dovrebbero essere negativi; se non lo è nessuno, la media è stata calcolata male.

Domande frequenti sulla deviazione standard

Che differenza c'è tra deviazione standard della popolazione e campionaria?
Il divisore. La deviazione standard della popolazione divide la somma dei quadrati per n, perché i valori sono l'intero gruppo. Quella campionaria divide per n − 1, perché la media di un campione sta un po' troppo vicina ai suoi stessi valori e dividere per uno in meno lo compensa. La risposta campionaria è sempre la più grande delle due.
Quale devo usare?
Se i tuoi numeri sono tutto ciò che ti interessa (i voti dell'intera classe, le altezze di tutti e sei i bambini) usa la formula della popolazione. Se sono un campione scelto per rappresentare qualcosa di più grande, usa n − 1. La maggior parte dei compiti di statistica chiede la versione campionaria, e quasi tutte le domande d'esame dicono quale vogliono.
Come si calcola la deviazione standard a mano?
Trova la media, sottraila da ogni valore, eleva al quadrato ciascuna differenza, somma i quadrati, dividi per n (o per n − 1) ed estrai la radice quadrata. Questa pagina stampa l'intera tabella, così puoi confrontare ogni riga con il tuo procedimento e non solo il numero finale.
Perché gli scarti si elevano al quadrato?
Perché altrimenti sommano sempre esattamente a zero: le distanze positive e negative si annullano per definizione di media. Il quadrato elimina i segni e dà anche più peso alle distanze grandi, ed è per questo che un solo valore anomalo lontano sposta così tanto la deviazione standard.
Che differenza c'è tra varianza e deviazione standard?
La varianza è la media degli scarti al quadrato; la deviazione standard è la sua radice quadrata. Le unità della varianza sono al quadrato (chili quadrati, centimetri quadrati) e sono difficili da interpretare, quindi si prende la radice per riportare la risposta nelle unità dei dati.
Una deviazione standard può essere negativa o zero?
Mai negativa: è la radice quadrata di una media di quadrati. Zero solo quando tutti i valori sono identici, perché è l'unico caso in cui non c'è distanza dalla media da misurare. Se ottieni un numero negativo, da qualche parte nella tabella si è perso un segno.
Cosa mi dice davvero la deviazione standard?
Più o meno quanto dista dalla media un valore tipico. Per dati con una distribuzione a campana, circa due terzi dei valori stanno entro una deviazione standard dalla media e circa il 95% entro due: è questo che la rende il metro di riferimento per chiedersi "questo valore è insolito?"
Perché questa pagina mostra frazioni invece di decimali?
Perché sono le risposte esatte. La media di 1, 2 e 4 è 7/3, e ogni quadrato costruito su 2.33 è leggermente sbagliato. Il decimale viene offerto accanto al valore esatto, non al suo posto, ed è indicato come approssimazione ogni volta che la radice è irrazionale.

Altri strumenti di matematica

Calcolatrice regressione esponenziale

La curva y = a·bˣ che si adatta a dati di crescita o decadimento, con il tasso per passo.

Media, mediana e moda

Tutte e tre le medie più campo di variazione e quartili, con il modo in cui è stato trovato ciascuno.

Calcolo p-value

Da una statistica z, t o chi quadro al suo p-value, con la coda disegnata e la decisione spiegata.

Calcolatrice punteggio z

Di quante deviazioni standard un valore si trova dalla media, in modo esatto, con il percentile corrispondente.

Illustrazione dei linguaggi di programmazione di Coddy

Impara la matematica con Coddy

INIZIA