Italiano
La curva y = a·bˣ che si adatta a dati di crescita o decadimento, con il tasso per passo.
Ultimo aggiornamento
Il corso di matematica di Coddy insegna il metodo vero e proprio: svolgi ogni passaggio su una lavagna interattiva e ti viene detto esattamente dove un passaggio è andato storto.
Una retta aggiunge la stessa quantità a ogni passo di x. Molte cose invece si moltiplicano per lo stesso fattore: il denaro a interesse composto, una coltura di batteri, la carica rimasta in una batteria, la differenza di temperatura tra una bevanda che si raffredda e la stanza. Quello schema è y = a·bˣ, dove a è il valore per x = 0 e b è il fattore applicato a ogni passo. Se b è maggiore di 1 la grandezza cresce, se b è tra 0 e 1 decade, e (b meno 1) in percentuale è il tasso per passo.
Il modo classico di adattarla è prendere il logaritmo naturale di ogni y. Se y = a·bˣ, allora ln y = ln a + x·ln b, che è una retta in x. Quindi il metodo adatta una normale retta dei minimi quadrati ai punti (x, ln y), ricava ln b dalla pendenza e ln a dall'intercetta, e annulla i logaritmi. È quello che fanno il comando ExpReg della TI-84 e la linea di tendenza esponenziale di Excel, e questa pagina mostra ogni fase: la colonna ln y, la retta adattata e i due esponenziali che riportano a e b.
Dato che i logaritmi sono irrazionali, questo è l'unico calcolatore di regressione della serie le cui risposte sono decimali arrotondati invece di frazioni esatte, e lo dice accanto al risultato. Ha anche bisogno che ogni y sia maggiore di 0, perché il logaritmo di 0 o di un numero negativo non esiste. La r² mostrata è la r² dell'adattamento lineare a ln y, cioè il valore che riporta una calcolatrice grafica.
Sostituisci ogni y con ln y. Per x = 0, 1, 2, 3, 4 e y = 3, 6, 12, 24, 48 la nuova colonna vale circa 1.0986, 1.7918, 2.4849, 3.1781 e 3.8712.
Usa le normali formule dei minimi quadrati per pendenza e intercetta sui punti (x, ln y). Qui la pendenza è circa 0.6931 e l'intercetta circa 1.0986.
La pendenza è ln b e l'intercetta è ln a, quindi b = e elevato alla pendenza e a = e elevato all'intercetta. Qui b ≈ e^0.6931 = 2 e a ≈ e^1.0986 = 3.
y ≈ 3·2ˣ, oppure y ≈ 3e^(0.6931x) in base e. b = 2 significa che ogni passo moltiplica y per 2: una crescita del 100% per passo, e un tempo di raddoppio di esattamente un passo.
Ogni riga è un insieme di dati inserito nel calcolatore qui sopra. Tutti i valori sono arrotondati a quattro cifre decimali.
| Valori di x | Valori di y | Curva di regressione | Variazione per passo | r² di ln y |
|---|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3, 4 | 3, 6, 12, 24, 48 | y ≈ 3 · 2ˣ | +100% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 100, 82, 67, 55, 45, 37 | y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ | -18.05% | 1.0000 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36 | y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ | +103.13% | 0.9999 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625 | y ≈ 1000 · 1.05ˣ | +5% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 5, 4, 3, 2, 1 | y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ | -32.38% | 0.9473 |
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 3, 6, 12, 24, 48Ogni y è il doppio del precedente, quindi i punti stanno esattamente su y = 3·2ˣ e il calcolatore restituisce a ≈ 3 e b ≈ 2, una crescita del 100% per passo, con r² = 1. In base e la stessa curva è y ≈ 3e^(0.6931x), e 0.6931 è ln 2. Proseguendo fino a x = 6 prevede 3·2⁶ = 192.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 100, 82, 67, 55, 45, 37Leggi y come la differenza di temperatura con la stanza, misurata ogni cinque minuti. L'adattamento è y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ, oppure y ≈ 99.9517e^(-0.1991x): circa il 18.05% della differenza sparisce a ogni passo, e il tempo di dimezzamento è ln 2 / 0.1991, circa 3.48 passi. L'adattamento logaritmico è quasi perfetto: r² vale 0.99999 alla quinta cifra, che il calcolatore arrotonda a 1.
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36I valori raddoppiano all'incirca a ogni passo senza farlo esattamente. L'adattamento è y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ, una crescita di circa il 103.13% per passo, con r² ≈ 0.9999 sulla scala logaritmica. In base e, k ≈ 0.7087, quindi il tempo di raddoppio è ln 2 / 0.7087, circa 0.98 passi.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625Un saldo di 1000 che rende il 5% l'anno. Il calcolatore ritrova y ≈ 1000 · 1.05ˣ, una variazione del +5% per passo, con r² = 1. Ricavare il tasso di interesse da un elenco di saldi è esattamente lo scopo di questo adattamento.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 5, 4, 3, 2, 1Questi punti scendono della stessa quantità a ogni passo, quindi stanno su una retta, y = -x + 5. Un adattamento esponenziale restituisce comunque y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ con r² ≈ 0.9473 sulla scala logaritmica, che sembra rispettabile. Disegna la curva sopra i punti e la vedrai mancarli a entrambe le estremità: qui il modello giusto è una retta, e la regressione lineare la adatta esattamente.
