素直な3項式: x² - 5x + 6
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x^2 - 5x + 6積が6、和が-5 になる2数は -2 と -3。よって (x - 2)(x - 3)。最高次の係数が1ならこれで方法は全部です。数を探さずにペアが見えるようになるまで、十数問やる価値があります。
因数分解 計算ツール
どんな多項式も因数分解し、各ステップの型の名前まで示します。
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因数分解は型の見分けであり、型の数は限られている
多項式を因数分解するとき起こることは、せいぜい6種類です。共通因数が出る、2乗の差が分かれる、完全平方が「かっこの2乗」になる、3項式が2つのかっこに分かれる、4項をペアにまとめる、3乗の和または差が開く。学校の代数で因数分解を求められるものは、このどれか、あるいはこのどれかを2回使ったものです。
ですから計算ツールが伝えるべき有用な情報は答えではなく、「どの型を使ったのか、なぜその型なのか」です。ここでは各行に名前がついています。同じ問題が試験に出たとき、あなたはこのページの内容を思い出そうとするのではなく、指し示された型を探すことになります。
整数係数でも分数係数でも計算は厳密で、しかも自己検算します。最後の行は因数を展開し直して、最初の多項式を表示します。この検算は「これが正しいとどうしてわかるのか」への答えであり、どんな出典のどんな答えでも、いつでも手作業でできます。
手順で見るべきところ
- まず共通因数を探します。3x² - 27 は 3 を外に出すまで2乗の差ではありません。「因数分解できない」の半分は、実は「3 を出していない」です。
- 2項なら2乗か3乗、3項なら3項式か完全平方、4項ならグループ化。項の数を数えるだけで、候補の大半が消えます。
- 2乗の差は分かれますが、2乗の和は分かれません。x² - 9 はできて x² + 9 はできない。この非対称は毎回考え直すより覚えたほうが早いです。
- 答えは展開して確かめます。最後の行がまさにそれです。10秒で済み、符号ミスはすべてここで見つかります。
- 「因数分解できない」は本当の答えです。x² + x + 1 に有理数の因数はなく、やめる判断も技術の一部です。
使い方
多項式を入力する
紙に書くのと同じ形で入力します:
x^2 - 5x + 6,4x^2 - 12x + 9,x^3 - 8。累乗は^。文字は1つでも2つでも構いません（x^2 - y^2も動きます）。答えを読み、次に型を読む
因数分解した形が上にあります。その下の番号つき手順が、それぞれで使った型の名前です。次の問題に持ち越せるのはこの部分です。
ゼロ点を見る
(ax - b) の形のかっこは b/a にゼロ点を与えます。因数分解が方程式を解けるのはこのためです。積がゼロになるのは、因数のどれかがゼロのときだけです。
検算は自分でもやる
最後の行は因数を展開し直したものです。それを隠して暗算し、比べてみてください。この習慣は答えより価値があります。
型の一覧と見分け方
学校の因数分解は6つの型で足ります。まず項の数を数えると、試す前に候補の大半が消えます。
| 型 | 見た目 | こうなる |
|---|---|---|
| 共通因数 | 6x² - 15x | 3x(2x - 5) |
| 2乗の差 | 9x² - 4 | (3x - 2)(3x + 2) |
| 完全平方式 | 4x² - 12x + 9 | (2x - 3)² |
| 最高次係数が1の3項式 | x² - 5x + 6 | (x - 2)(x - 3) |
| 最高次係数が1でない3項式 | 2x² + 7x + 3 | (2x + 1)(x + 3) |
| グループ化（4項） | x³ + 2x² + 3x + 6 | (x + 2)(x² + 3) |
| 3乗の差 | x³ - 8 | (x - 2)(x² + 2x + 4) |
| 3乗の和 | x³ + 27 | (x + 3)(x² - 3x + 9) |
| 2乗の和 | x² + 9 | does not factor |
例題
完全平方: 4x² - 12x + 9
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4x^2 - 12x + 94x² は (2x)²、9 は 3²、そして中央の項はちょうど -2 × 2x × 3。だから (2x - 3)² です。3項式として処理して (2x-3)(2x-3) を得ることもできますが、平方だと気づけばその手間が省けます。型を覚える理由はそれだけです。
係数つきの2乗の差: 9x² - 4
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9x^2 - 4落とし穴は気づかないことです。2乗が目に見えにくいだけで、9x² は (3x)²、4 は 2²。あとは通常どおりで (3x - 2)(3x + 2) になります。マイナスをはさんだ2項は、いつでもこの型を疑う価値があります。
共通因数を先に: 3x² - 27
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3x^2 - 27そのままでは2乗の差ではありません。3x² は平方ではないからです。3 を出せば 3(x² - 9) は平方の差で、3(x - 3)(x + 3) になります。共通因数を飛ばすことが、「因数分解できない」と誤って結論する最大の原因です。
3乗の差: x³ - 8
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x^3 - 8x³ - 8 は x³ - 2³ なので (x - 2)(x² + 2x + 4)。2次のかっこは有理数の範囲ではこれ以上分かれません。ページはそれを明言します。符号に注意: 1次のかっこは元の符号を受け継ぎ、2次のほうは交互になります。
よくある間違い
- 共通因数を先に出さないこと。ほかのすべての型は共通因数がないほうが見やすく、いくつかはそれまで見えません。
- 2乗の和を因数分解しようとすること。x² + 4 に有理数の因数はありません。分かれるのは差だけです。
- 3項式のペアで符号を落とすこと。2数は積が定数項、和が中央の係数。毎回この2条件です。
- 早くやめすぎること。x⁴ - 16 は (x² - 4)(x² + 4) になり、前のかっこはさらに (x - 2)(x + 2) に分かれます。
- 完全平方が「かっこの2乗」だと忘れること。(2x - 3)(2x - 3) も誤りではありませんが、求められている答えは (2x - 3)² です。
- 因数分解せずに約分すること。(x² - 9)/(x + 3) で x² と x を消してはいけません。分子を因数分解すれば共通のかっこが約分できます。
因数分解のよくある質問
多項式はどう因数分解しますか？
まず共通因数を外に出し、次に項の数を数えます。2項なら2乗の差か3乗の和・差、3項なら完全平方かたすきがけ、4項ならペアでグループ化。最後に、まだ分かれるかっこがないか確かめます。このページが示す道筋は、その手順を1〜2回適用したものです。
x² - 5x + 6 のような3項式はどう分けますか？
積が定数項、和が中央の係数になる2数を探します。ここでは 6 と -5 なので -2 と -3。因数は (x - 2)(x - 3) です。最高次の係数が1でないときは、c ではなく a×c に同じ考えを使います。手順が「ac の道」と呼んでいるものです。
因数分解できない場合は？
その旨をはっきり表示します。1文字の2次・3次式については、それは開き直りではなく証明です。有理数の根がなければ有理数の因数もありません。x² + x + 1 がその例です。分かれない2次式でも解の公式で解けます（別ページです）。
文字が2つでも使えますか？
はい。学校で扱う形には対応しています。共通因数（6x²y + 9xy² は 3xy(2x + 3y)）、2乗の差（x² - y²）、3乗の和と差（x³ + 8y³）。片方の因数が1文字だけになれば、そこから1変数用の完全な道筋が引き継ぎます。
なぜ答えに検算がつくのですか？
因数を展開し直すことが因数分解の検証方法であり、それを表示するのは無料だからです。同時に、持っておく価値のある習慣も伝わります。どんな計算機や友人からの答えでも、10秒でこうやって確かめられます。
因数分解と方程式を解くことは同じですか？
同じではありませんが、大部分は同じです。因数分解は式を積に書き換えること、解くことはその積を使ってゼロ点を求めること。積がゼロになるのは因数のどれかがゼロのときだけだからです。答えの下のゼロ点の行が、その最後の一歩です。
係数に分数や小数があっても大丈夫ですか？
はい。x²/2 - 2 は ½(x - 2)(x + 2) に分かれ、0.25x² - 1 は丸めた小数ではなく厳密な分数 ¼ として読まれます。ここでは浮動小数点計算を一切しないので、分数は答えまで分数のままです。
