素直な場合: 2⁵
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2^52を5つ掛ける: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32。指数が本当に因数を数えている唯一の場合で、一度書き出しておく価値があります。以下の場合がそこからの逸脱として見えるようになります。
べき乗の計算機
規則を名前で示すべき乗。負の指数も分数の指数も。
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指数は因数を数える - 数えることをやめるまで
整数の指数には説明することがありません: 2⁵ は2を5つ掛けたもの、つまり32です。面白いのは、指数がもう因数の数ではなくなる場合で、それは三つあります: 0、負、分数。それぞれの背後に規則が一つあり、どれも同じ事実から従います - 同じ底のべき乗を掛けると指数が足される、ということです。
0: 2³ ÷ 2³ は1で、指数を引くと 2⁰ になるので、2⁰ は1でなければなりません - 底が0そのものである場合を除いて。負: 2³ ÷ 2⁵ は1/4で、引き算は 2⁻² を与えるので、負の指数は逆数であり、決して負の答えではありません。分数: 2^(1/2) × 2^(1/2) は 2¹ なので、2^(1/2) は2乗して2になる数、つまり平方根です。
ここではすべてが正確です。2⁻³ は0.125ではなく 1/8、(2/3)³ は 8/27、9^(1/2) はちょうど3、8^(1/2) は2.828に崩れず 2√2 のままです。小数は正確な答えの隣に、存在するときだけ添えられ、近似であるときはそう明記されます。
ここに注目
- 負の指数は逆数を与えます。負の数ではありません。2⁻³ は 1/8 で正です。答えを負にできるのは負の底だけです。
- 指数が0なら、0以外のどんな底でも1になります。0⁰ には合意された値がなく、0の負の指数は0で割ることになってしまいます。
- 分数の指数は根です: 分母がどの根かを言い、分子がべきです。8^(2/3) は8の立方根を2乗したもので、4になります。
- 分数をべき乗すると両方の部分が乗ります。(2/3)³ は 8/27 - 分母も3乗され、そこが最も飛ばされやすい手順です。
- 負の底の符号は指数だけで決まります: 偶数の指数はマイナスを対にして正の答えにし、奇数は1つ余らせます。
- かっこはすべてを変えます。(−2)⁴ は16ですが −2⁴ は −16 - かっこがないとべき乗のほうがマイナス記号より強く結びつくからです。
べき乗の計算手順
まず指数の符号を見る
負なら逆数を書いて指数を正にします: 2⁻³ は 1/2³ に。これを最初にやることで、−8と答える定番の間違いを防げます。
分数かどうかを見る
分数の指数は根です。下がどの根かを選び、上がべきです: x^(m/n) は x^m の n乗根。
分数の底を処理する
分子と分母を別々に乗じます。(2/3)³ は 2³ ÷ 3³、つまり 8/27。
残りを掛け合わせる
整数の指数はもう単なる繰り返しの掛け算です。符号に注意: 負の因数が奇数個なら答えは負になります。
逆数があれば仕上げる
いま計算した結果を逆さにします。1/2³ は 1/8 - そして答えが1より小さいことを確かめてください。底が1より大きいときの負の指数はつねにそうなります。
べき乗と、その背後にある規則
単なる繰り返しの掛け算ではない四つの場合を、そうである場合と並べて。
| べき乗 | 規則 | 正確な答え | 小数では |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | 繰り返しの掛け算 | 32 | 32 |
| 2⁰ | 0以外のどんな底も0乗は1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | 負の指数は逆数 | 1/8 | 0.125 |
| (2/3)³ | 上も下も乗じる | 8/27 | 0.296… |
| 9^(1/2) | 分数の指数は根 | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | 根は丸めず簡単にする | 2√2 | 2.828… |
| (−2)⁴ | 偶数の指数、マイナスが対になる | 16 | 16 |
| (−2)³ | 奇数の指数、マイナスが1つ残る | −8 | −8 |
解いてみる
負の指数: 2⁻³
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2^-3−8 ではありません。負の指数は逆数を意味します: 2⁻³ は 1/2³ = 1/8。理由は割り算です - 2² ÷ 2⁵ は 1/8 で、指数を引くと 2⁻³ になるので、両者は等しいはずです。答えは正で、1より小さい。
底が分数: (2/3)³
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(2/3)^3両方が3乗されます: 2³ ÷ 3³、つまり 8/27。分子だけを乗じる - よくある取りこぼし - と 8/3 になり、正しい値の8倍以上です。小数では 0.296… で終わらないので、正直な答えは分数です。
分数の指数: 9^(1/2)
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9^1/21/2 のべきは平方根なので、これはちょうど √9 = 3。理由: 9^(1/2) × 9^(1/2) は指数を足して 9¹ になるので、9^(1/2) は2乗して9になる数でなければなりません。
根が割り切れないとき: 8^(1/2)
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8^1/2√8 は無理数なので答えは根のまま - 平方因数4を外に出して 2√2 に簡単化されます。小数 2.828… は近似として隣に置かれ、決してその代わりにはなりません。
負の底の符号: (−2)⁴ と (−2)³
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(-2)^44つの負の因数は2つの正の積に対になるので (−2)⁴ = 16。3つならマイナスが1つ相手を失うので (−2)³ = −8。符号を決めるのは指数だけです - そして かっこなしの −2⁴ は −(2⁴) = −16 を意味し、別の問いになることに注意。
よくある間違い
- 負の指数を負の答えと読む。2⁻³ は 1/8 で −8 ではありません。マイナスはべきを分母へ送るだけで、答えまで移動しません。
- 底と指数を掛ける。2⁵ は32で、10ではありません。指数は因数を数えるもので、掛ける数ではありません。
- 分数の分子だけを乗じる。(2/3)³ は 8/27 で 8/3 ではありません - 分母も3乗されます。
- 負の底のかっこを外す。(−2)⁴ は16ですが −2⁴ は −16 - べき乗のほうがマイナス記号より強く結びつくからです。
- 0⁰ を1や0だと思う。合意された値はなく、分野ごとに異なる約束が選ばれます。このページは一つを選ぶ代わりに答えを拒みます。
- 根を簡単にせず丸める。8^(1/2) はちょうど 2√2 です。2.83 は近似で、その値をまた2乗した瞬間に役に立たなくなります。
指数についてよくある質問
負の指数はどういう意味?
逆数です。x⁻ⁿ は 1/xⁿ なので 2⁻³ は 1/8 - 1より小さい正の数です。べき乗の割り算から従います: 2² ÷ 2⁵ は 1/8 で、指数を引くと 2⁻³ になるので、両者は同じものでなければなりません。
なぜ何でも0乗は1になるの?
べき乗を自分自身で割ると1になり、指数を引くと0になるからです: 2³ ÷ 2³ = 1 で、同時に = 2⁰。唯一の例外は 0⁰ で、合意された値がありません - 1を強いる筋道には、割ってよい底が必要なのです。
分数の指数はどういう意味?
根です。分母がどの根かを言い、分子がべきです: x^(1/2) は平方根、x^(1/3) は立方根、x^(2/3) は x を2乗した立方根。べき乗の掛け算から従います: x^(1/2) × x^(1/2) = x¹。
分数をべき乗するには?
分子と分母を別々に乗じます: (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27。上だけにやるのがここで最も多い誤りで、分母のそのべきの分だけずれます。
(−2)⁴ と −2⁴ は同じ?
違います。覚えておく価値があります。(−2)⁴ は −2 を4乗して +16。かっこがない −2⁴ は −(2⁴) = −16 を意味します。べき乗がマイナス記号より先に適用されるからです。負の底は必ずかっこで囲んでください。
負の数のべき乗が正になるのはいつ?
指数が偶数のときです。負の因数の各ペアが正の積になるので、偶数個なら負は何も残らず、奇数個ならマイナスがちょうど1つ残ります。(−3)² は9、(−3)³ は −27。
2の1/2乗は?
2の平方根で、無理数です - 正確な答えは √2 で、1.414… はその近似にすぎません。このページは根を保ち、できるところで簡単にします: 8^(1/2) は √8 のままにせず 2√2 と書きます。
この計算機は立方根もできる?
平方根の指数を正確に、そして任意の底の整数乗を計算します。x^(1/2) と x^(3) はどちらも問題ありません。x^(1/3) のような他の分数の根は、Coddyの数学コースが自前の根の手順で扱う領域で、そこでは途中の式こそが教えられている内容です。
