同類項をまとめる: 5x - 2x + 7
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5x - 2x + 75x - 2x は 3x で、7 は結合する相手がないので答えは 3x + 7。起こらないことに注目してください。3x と 7 は 10x になりません。文字のある項と無い項は決して同類項ではなく、この一つの誤解が初年度の代数で失う点の相当部分を占めます。
式の簡単化 計算ツール
式を簡単にする・展開する・因数分解する。各ステップに名前つき。
最終更新
計算ツールなしで解けるようになりたいですか？
Coddy の数学コースは解き方そのものを教えます。対話式のボードで一手ずつ進め、どこで手順が狂ったのかを正確に教えてくれます。
「簡単にせよ」は、一語に三つの指示が入っています
「簡単にする」は普通、同類項をまとめて計算を終えることです。「展開する」は、式が長くなってもかっこを外すこと。「因数分解する」はその逆で、積の形に書くこと。学年のどこかで三つとも「簡単にする」と呼ばれ、同じ式でも指示ごとに正解が違います。だからこのページは推測せず、どれが必要かを尋ねます。
大事なのは手順です。各行が「かっこを外した」「同類項をまとめた」「共通因数を約分した」「根号を簡約した」と述べ、その結果の式を示します。これらの名前は Coddy 数学コースが対話式の板書で使う名前と同じです。計算ツールとコースが同じエンジンで動いているからです。
すべて厳密に保たれます。4分の3たす6分の5は1.5833333ではなく12分の19、√12は3.464ではなく2√3。小数の結果は本当の答えを丸めたものであり、分数や根号を問う問題では丸めは誤答になります。
手順で見るべきところ
- 同類項とは、同じ文字が同じ次数で入っている項です。5x と -2x は同類項、5x と 5x² は違います。何をしても結合できません。
- 展開と簡単化は別の指示です。(x + 2)(x - 3) を展開すると x² - x - 6。和としてはそれが最も簡単な形ですが、因数分解した形のほうが見やすいこともあります。
- 分数は、分子と分母を同時に割るものが無くなるまで約分できていません。数だけでなく共通のかっこも含みます。
- 順序は手間に影響しますが、正しさには影響しません。まず展開、次にまとめる。逆にすると、たいてい二度手間になります。
- 分数の計算は、飛ばして間違えられる手順です。だからこそエンジンはそれを独立した行として表示します。
使い方
式を入力する
紙に書くのと同じように:
2(x - 3) + 4x - 5,x/2 + x/3,sqrt(12),(x^2 - 9)/(x + 3)。累乗は^、根号はsqrt(...)。欲しい形を選ぶ
最も簡単な形、展開、因数分解。宿題に「簡単にせよ」とだけある場合は、まず最も簡単な形を試してください。多くの場合それが意味するところです。
手順の名前を読む
各行がどの操作をしたかを述べます。その操作が次に来る理由を説明できるなら、次の問題はこのページなしで解けます。
自分の計算と比べる
答えが違うときに役立つのは「どちらが正しいか」ではなく「どの行で分かれたか」です。その行を見つければ、間違いはほぼ自分から説明されます。
それぞれの指示の意味
同じ式が三つの形になり、何を問われたかによって正解が三通りになります。
| 指示 | 例 | 答え |
|---|---|---|
| 簡単にする | 5x - 2x + 7 | 3x + 7 |
| 簡単にする（かっこ） | 2(x - 3) + 4x - 5 | 6x - 11 |
| 簡単にする（分数） | 3/4 + 5/6 | 19/12 |
| 簡単にする（分数式） | (x² - 9)/(x + 3) | x - 3 |
| 簡単にする（根号） | √12 | 2√3 |
| 展開する | (x + 2)(x - 3) | x² - x - 6 |
| 平方を展開する | (2x + 1)² | 4x² + 4x + 1 |
| 因数分解する | x² - 5x + 6 | (x - 2)(x - 3) |
例題
かっこを先に: 2(x - 3) + 4x - 5
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2(x - 3) + 4x - 5展開して 2x - 6 + 4x - 5、まとめて 6x - 11。逆にやること（展開前に 2(x - 3) と 4x をまとめようとすること）が、6(x - 3) と書く古典的な誤りの出どころです。
分数式: (x² - 9)/(x + 3)
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(x^2 - 9)/(x + 3)分子を (x - 3)(x + 3) に因数分解すると (x + 3) が約分でき、x - 3 が残ります。約分できるのは因数まるごとだけなので、因数分解が先に来ます。x² と x を消すのは許されず、誤答になります。
分数: 3/4 + 5/6
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3/4 + 5/6共通分母は12なので 9/12 + 10/12 = 19/12。答えは分数のままです。19/12 は厳密で、1.5833... はその丸め。問題が分数についてなら、答えは分数です。
よくある間違い
- 同類項でないものをまとめること。3x + 4 は 3x + 4 で、どれほど短く見えても 7x にはなりません。
- 最初の項にだけ分配すること。2(x - 3) は 2x - 6 で、2x - 3 ではありません。
- 足し算をまたいで約分すること。(2x + 4)/2 では両方の項が2で割られ、x + 2 になります。2x + 2 には決してなりません。
- 和を項ごとに2乗すること。(x + 3)² は x² + 6x + 9 で、x² + 9 ではありません。忘れられるのは中央の項です。
- 厳密な値を小数にしてしまうこと。√12 は 2√3 に簡約されます。3.46 と書くと、問われていた厳密さが失われます。
- かっこを引くときの符号ミス。5 - (x - 2) は 5 - x + 2 = 7 - x。マイナスは中身すべてにかかります。
よくある質問
式を簡単にするとはどういうことですか？
同じ値を、いちばん短く整った形で書くことです。展開すべきものを展開し、同類項をまとめ、計算を終え、分数や根号を約分・簡約します。値は変わりません。変わるのは書き方だけです。
簡単化と展開の違いは何ですか？
展開はかっこを外すことで、式はしばしば長くなります。簡単化は最も整った形にすることで、通常は展開してからまとめる作業を含みます。宿題は両方を同じ言葉で求めるため、このページではどちらも選べます。
完全に簡単化されたとどう判断しますか？
展開するものが残っておらず、まとめられる二項が無く、未処理の計算が無く、約分できる分数や簡約できる根号も無いときです。ページはちょうどそこで止まり、最後の行がその状態です。
文字入りの分数も簡単にできますか？
はい。(x² - 9)/(x + 3) は x - 3 になり、手順がその理由を示します。分子が因数分解でき、共通のかっこが約分されるからです。因数まるごとでないものは決して約分しません。許されない操作だからです。
答えは厳密ですか？
常に厳密です。分数は分数、根号は根号のまま、どの計算も浮動小数点では行いません。これは意図的な選択です。0.6666666667 は、2/3 が間違いではない仕方で間違っています。
宿題の確認に使えますか？
使えます。有効なやり方は、まず自分で解いてから答えではなく道筋を比べることです。正しい方法が二つあれば同じ式に到達しますし、注目に値するのはあなたの道筋が分かれた手順です。
なぜ各手順に名前がついているのですか？
名前こそが持ち運べる部分だからです。「同類項をまとめる」は次回探せる操作ですが、説明なく現れた代数の一行はそうではありません。ここで使う名前は Coddy 数学コースと同じです。
