12 : 8 を簡単にする
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12 : 812 と 8 の最大公約数は 4 なので、両方の項をそれで割って 3 : 2。分数にすれば 3/2、小数なら 1.5、全体に対する割合で見れば前の項は5つのうち3つ、つまり 60% です。割り算は1回、読み方は4通り。
比の計算ツール
比を簡単にする、比例式を解く、2つの比を比べる — すべて途中式つき。
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比は何倍しても変わらない - それがこの話のすべて
比は2つの量を割り算でくらべたものです。12 : 8 は、前の数が後ろの数の1.5倍だという意味になります。両方の項を同じ数でかけても割っても、くらべ方そのものは変わりません。12 : 8、6 : 4、3 : 2 は服装だけを変えた同じ比です。簡単にするというのは、共通するものが残らなくなるまで両方の項を最大公約数で割ることで、分数の約分とまったく同じ作業です。
比例式とは、2つの比が等しいという主張です - 3 : 4 = 9 : x - そして、この種の問題はたった1つの事実で開きます。正しい比例式では、たすきがけの積が一致するのです。2本の対角線に沿ってかけ算をすると積が等しくなるので、4つの位置のどこに未知の数があっても、かけ算1回と割り算1回で届きます。これがたすきがけであり、このページは x = 12 に着地するだけでなく、その過程を書き出します。
小数や分数もそのまま入れられ、まず正確に払われます。2.5 : 1.5 は 25 : 15 になり、さらに 5 : 3 へ。未知の値が 35/3 なら答えは 35/3 のままで、11.67 とは書きません。正確な問いに丸めた答えを返せば、それは別の答えになってしまうからです。
おさえておきたいこと
- 比を簡単にすることは、分数を約分することと同じです。12 : 8 と 12/8 は同じ最大公約数で縮み、3 : 2 と 3/2 になります。
- 順番には意味があります。3 : 2 と 2 : 3 は別の比で、前者は大きい方から小さい方へ、後者はその逆を表します。
- 最も簡単な整数の比でも、さらに 1 : n の形にできます。3 : 2 は 1 : 2/3 で、多くの比を一目でくらべるのに便利です。n が整数にならないことも珍しくありません。
- すべてを決めるのはたすきがけの積です。a : b = c : d が成り立つのは a·d = b·c のときだけ。この1行が等しさの判定であり、同時に未知の値を求める道具でもあります。
- 「部分と部分」は「部分と全体」ではありません。3 : 2 は全体を5つに分けるので、前の項は全体の 3/5 = 60% であって、全体の 3/2 ではありません。
比を簡単にする手順
小数や分数を払う
両方の項が整数になるまで、同じ数をかけます。2.5 : 1.5 は10倍して 25 : 15 になります。両方の項をそろえて何倍かしても、比は決して変わりません。
最大公約数を見つける
両方の項を割り切れる最も大きい数です。25 と 15 なら 5 です。
その数で両方の項を割る
25 ÷ 5 = 5、15 ÷ 5 = 3 なので、最も簡単な整数の比は 5 : 3 です。最大公約数が 1 なら、はじめから簡単な形でした。
未知の値はたすきがけで求める
空いている場所に x を置いて比例式を書きます。3 : 4 = 9 : x は 3/4 = 9/x のこと。対角線に沿ってかけ算をすると 3x = 36 となり、割れば x = 12 です。
比の一覧
同じくらべ方の、よくある装い。最も簡単な形、分数、1 : n、そして前の項が全体に占める割合です。
| 比 | 最も簡単な形 | 分数で | 全体に占める割合 |
|---|---|---|---|
| 12 : 8 | 3 : 2 | 3/2 | 60% |
| 2 : 4 | 1 : 2 | 1/2 | 33⅓% |
| 25 : 15 | 5 : 3 | 5/3 | 62.5% |
| 6 : 9 | 2 : 3 | 2/3 | 40% |
| 10 : 4 | 5 : 2 | 5/2 | 71³⁄₇% |
| 2.5 : 1.5 | 5 : 3 | 5/3 | 62.5% |
| 1/2 : 3/4 | 2 : 3 | 2/3 | 40% |
| 7 : 7 | 1 : 1 | 1 | 50% |
例題と解き方
小数を払う: 2.5 : 1.5
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2.5 : 1.5両方の項を10倍して 25 : 15 にします。両方をそろえて何倍かすることは、まさに比が気にしない操作なので許されます。次に最大公約数 5 で割って 5 : 3 に到達。2ステップとも表示され、浮動小数点はどこにも出てきません。
比例式 3 : 4 = 9 : x を解く
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3 : 4 = 9 : ?たすきがけ: 3 · x = 4 · 9 なので 3x = 36、よって x = 12。検算は方法そのものに含まれています。9 : 12 を約せば、出発点の 3 : 4 に戻るからです。4つのどの欄を空けても、同じ2手で見つかります。
1 : 2 と 3 : 6 は同じ比?
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1 : 2 = 3 : 62本の対角線でたすきがけ: 1 · 6 = 6、2 · 3 = 6。一致するので答えは「はい」。2つは尺度の違う同じくらべ方です。積が違っていれば答えは「いいえ」で、約した2つの形がどれだけ離れているかを示します。
よくある間違い
- 片方の項だけを何倍かしてしまう。12 : 8 が 3 : 2 になるのは、両方の項を4で割ったからです。片側だけを半分にすれば、くらべ方そのものが変わります。
- 3 : 2 を「前の項が全体の 3/2」と読んでしまう。3/2 なのは後ろの項に対してで、全体に対しては 3/5 です。全体は 3 + 2 = 5 つ分だからです。
- 順番を逆にする。ジュースの濃縮液と水の比 1 : 4 は 4 : 1 ではありません。どちらの数が先に来るかは言葉が決めます。
- 比を項ごとに足してしまう。1 : 2 と 1 : 3 を足しても 2 : 5 にはなりません。全体が違う比は足せないので、まず実際の量に直します。
- 最も簡単な形の手前で止める。6 : 4 は問いが違えば正解ですが、採点はたいてい 3 : 2 を求めています。
- 未知の値を丸めてしまう。たすきがけで x = 35/3 が出たなら答えは 35/3 です。11.67 と書けば、正確な比例式が近似の話に変わってしまいます。
比についてのよくある質問
比を簡単にするにはどうすればいい?
両方の項を最大公約数で割ります。12 : 8 は 4 という共通の約数を持つので 3 : 2 になります。項が小数や分数のときは、まず両方に同じ数をかけて整数にしてください。2.5 : 1.5 は 25 : 15 になり、さらに 5 : 3 になります。
比例式の未知の値はどう求める?
たすきがけを使います。正しい比例式 a : b = c : d では対角線の積が等しく、a·d = b·c が成り立ちます。空いている位置に x を置き、対角線をかけて割るだけです。3 : 4 = 9 : x なら 3x = 36 で x = 12。このページは4つのどの位置の空欄でも受け付けます。
2つの比が等しいかはどう判断する?
たすきがけをしてくらべます。1 : 2 と 3 : 6 なら 1·6 = 6、2·3 = 6 で等しいので、同じ比です。両方を最も簡単な形にしてくらべても分かりますが、たすきがけなら割り算なしで1行で済みます。
比を分数や百分率に直すには?
これは2つの別の変換で、混同するのが定番の間違いです。部分と部分なら、3 : 2 は分数で 3/2、後ろの項1に対する前の項の大きさです。部分と全体なら、前の項は 3 + 2 = 5 のうちの 3、つまり 3/5 で 60% です。このページは簡単にした比ごとに両方の読み方を示します。
1 : n という比は何を表し、なぜ n が整数でないの?
前の項がちょうど 1 になるように直した比で、多くの比を一目でくらべるのに便利です。3 : 2 は 1 : 2/3 になり、n が整数になるのは後ろの項が前の項で割り切れるときだけです。分数の n は誤りではなく、ごまかしのない交換レートです。
比の項は3つ以上や負の数でもいい?
2 : 3 : 5 のような3項の比も存在し、同じように簡単にできます(3つとも共通の約数で割る)。ただしこの計算機は、比例式で使う2項の比を扱います。量の比では負の項は受け付けませんが、1つ空欄のある比例式では負の数も使えます。そこでは単なる方程式だからです。
比と割合(単位量あたりの大きさ)の違いは?
比は同じ単位の量をくらべます。小麦粉と砂糖、男子と女子のように。単位量あたりの大きさは異なる単位をくらべるもので、時速何キロや1キロあたりの値段のように、割り算をして1つの数で書くのが普通です。計算そのものは同じで、単位と言い方だけが違います。
