定番: √72
plain
sqrt(72)72 = 2³·3²。組は 2·2 と 3·3 で、2 と 3 を外に出し、中に 2 を残します。よって √72 = 6√2 で、2 乗すると 36·2 = 72 に戻ります。
根号の計算機
根号を簡単にし、まとめ、分母を有理化します。答えは形であって小数ではありません。
最終更新
計算ツールなしで解けるようになりたいですか？
Coddy の数学コースは解き方そのものを教えます。対話式のボードで一手ずつ進め、どこで手順が狂ったのかを正確に教えてくれます。
根号の問題の答えは「形」であって、小数ではない
電卓は 72 の平方根を 8.4852814 と教えてくれます。しかし根号の問題が求めている答えは、ほとんどの場合それではありません。求められているのは 6 かける 2 の平方根、つまり同じ量を、根号の中に完全なべき乗が隠れていない形で書き直したものです。この違いがこの単元のすべてです。根号を簡単にするのは「書き換え」であって「計算」ではなく、小数にした瞬間、保つように求められていた正確さが失われます。
このページの計算はすべて正確です。72 の平方根は 6√2、54 の立方根は 3∛2、3 分の 2 の平方根は √6/3、そして 1 を 2 + √3 で割ると、ちょうど 2 − √3 になります。答えの横には小数も表示しますが、必ず「およその値」と明記しています。だいたいの大きさを知りたいこともあるからで、答えの代わりに渡すことはありません。
3 つの問いが 1 ページに同居しているのは、必要な技能が同じだからです。簡単にするとは、根号の中の数に潜む最大の完全なべき乗を見つけることです。たし算は 2 つの根号が同類項かどうかを教えてくれますが、それは両方を簡単にしないと分かりません。有理化は、根号そのものか共役な式を使って、分母から根号を追い出すことです。3 つはすべて同じ法則に行き着きます。積の根号は、根号の積である、という法則です。
押さえておきたいこと
- 最初に目に入った平方数ではなく、最大の平方数を外に出します。72 は 4 かける 18 でもありますが、そこで止めると √18 が残り、まだ最も簡単な形ではありません。72 は 36 かける 2 でもあり、6√2 で完成です。
- 完全なべき乗は素因数分解の中にあります。72 を 2³·3² と書けば、同じ素数の組 1 つひとつが、平方根の記号の外に出せる因数になります。
- 2 つの根号がたせるのは、根号の中に残った数が同じときだけです。√8 + √18 はたせます。どちらも隠れて √2 の倍数だからです。√8 + √27 はたせず、2√2 + 3√3 が完成した答えです。
- 根号の中の分数と、分母の中の根号は、同じ問題です。3 分の 2 の平方根は最も簡単な形ではありません。中を 3/3 でかけると √6/3 になり、こちらが最も簡単な形です。
- 指数が、どのべき乗が外に出るかを決めます。平方根では 2 個の組、立方根では 3 個の組、4 乗根では 4 個の組が必要です。だから 54 の立方根は 6 ではなく 3 になります。
根号を手で簡単にする手順
根号の中の数を素因数分解する
根号の下の数を素数の積として書きます。72 なら 2·2·2·3·3、つまり 2³·3² です。これを先にやっておけば、平方数が隠れているかどうかを勘で当てる必要がなくなります。
指数に合わせて素数を組にする
平方根なら素数を 2 個ずつ、立方根なら 3 個ずつまとめます。72 の中の組は 2·2 と 3·3 で、2 が 1 つだけ余ります。
完全な組 1 つにつき因数 1 つが外に出る
各組は、その素数を 1 個だけ根号の外に出します。2 の組から 2、3 の組から 3 が出るので外に 6 が出て、余った 2 は下に残ります。つまり 6√2 です。
根号の中の分数を取り除く
中に分母が残っているときは、分母が完全なべき乗になるように中の分数をかけます。3 分の 2 なら 3/3 をかけて 9 分の 6 にすると、√6/3 が出てきます。
答えを 2 乗して確かめる
6√2 を 2 乗すると 36 かける 2、つまり 72 です。この確認は、最もよくある間違いを 1 行で見つけてくれます。小さすぎる因数を外に出すと、2 乗が根号の中の数に届きません。
最も簡単な形にした根号
よく出てくる場合を並べ、それぞれで働いている完全なべき乗を示しました。
| 根号 | 中の完全なべき乗 | 最も簡単な形 | およその値 |
|---|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 | 2.828 |
| √12 | 4 | 2√3 | 3.464 |
| √18 | 9 | 3√2 | 4.243 |
| √32 | 16 | 4√2 | 5.657 |
| √50 | 25 | 5√2 | 7.071 |
| √72 | 36 | 6√2 | 8.485 |
| √(2/3) | なし — 3 を外に出す | √6 / 3 | 0.816 |
| ∛54 | 27 | 3∛2 | 3.780 |
| 3 / √2 | なし — 有理化する | 3√2 / 2 | 2.121 |
| 1 / (2 + √3) | なし — 共役な式 | 2 - √3 | 0.268 |
解いてみた例
前に係数がある: 3√8
plain
3*sqrt(8)まず根号を簡単にします。√8 は 2√2 です。次に係数をかけます。3·2 = 6 なので答えは 6√2 です。係数が根号の中に入ることはありません。
たせなさそうなものをたす: √8 + √18
plain
sqrt(8) + sqrt(18)簡単にするまで、どちらの項も √2 に触れていません。√8 は 2√2、√18 は 3√2 です。これで同類項になったので、係数をたして 5√2 です。
同類でない根号: √8 + √27
plain
sqrt(8) + sqrt(27)簡単にすると 2√2 と 3√3 です。根号の中の数が違うので同類項ではなく、2√2 + 3√3 が答えです。これ以上やることはありません。
分母に根号がある: 3 ÷ √2
plain
3/sqrt(2)分子と分母に √2 をかけます。√2/√2 は 1 なので値は変わらず、分母は 2 になります。答えは 3√2/2 です。
共役な式: 1 ÷ (2 + √3)
plain
1/(2 + sqrt(3))分子と分母に 2 − √3 をかけます。分母は 2² − (√3)²、つまり 4 − 3 = 1 になるので、全体はちょうど 2 − √3 です。
よくある間違い
- 最大ではなく最初に見つけた平方数を外に出してしまう。√72 を 2√18 と書くのは正しいけれど未完成で、「最も簡単な根号の形」を求める問題の答えとしては不正解になります。
- 小数で答えてしまう。8.485 は 72 の平方根ではなく、その四捨五入です。問題に根号の記号があれば、根号がちょうど外れる場合を除いて、答えにも根号が残ります。
- 根号の中の数をたしてしまう。√4 + √9 は 2 + 3 = 5 で、√13 ではありません。根号は同類項としてしかたせず、記号の中でたすことはできません。
- 指数の違う根号をかけてしまう。√2 かける ∛2 は √2 でも ∛4 でもありません。積の法則は、まとめる前に 2 つの指数がそろっていることを要求します。
- 分母に根号を残してしまう。√2/2 と 1/√2 は同じ数ですが、最も簡単な形なのは前者だけです。後者は下にまだ根号があります。
- 和の根号を、根号の和として扱ってしまう。9 + 16 の根号は √25 = 5 で、3 + 4 = 7 ではありません。積の法則が分けられるのは積で、和ではありません。
- 負の数の偶数乗根は実数ではないが、奇数乗根は実数だということを忘れてしまう。−16 の実数の 4 乗根はありませんが、−8 の立方根はちょうど −2 です。
根号のよくある質問
最も簡単な根号の形とは何ですか。
根号の中の数に完全なべき乗の因数が残っておらず、根号の中に分数がなく、どの分母にも根号がない状態です。ですから 6√2 は最も簡単な形ですが、2√18 は同じ数であってもそうではありません。
平方根はどう簡単にしますか。
根号の中の数を素因数分解し、素数を 2 個ずつの組にして、各組から 1 個ずつ根号の外に出します。組にならなかったものは下に残ります。72 は 2³·3² なので、√72 は 6√2 になります。
なぜ小数で答えないのですか。
小数はおよその値で、根号は正確だからです。√2 に有限小数はないので 1.414 は 4 桁目でもう間違っています。試験の答案、その先の式変形、後から行う約分は、どれも正確な形でなければ正しさを保てません。
2 つの根号はいつたせますか。
簡単にしたあとで根号の中の数が同じで、指数もそろっているときだけです。そのときは x + x とまったく同じで、係数をたして根号を残します。√8 + √18 は 5√2 ですが、√8 + √27 はまとめられません。
分母はどうやって有理化しますか。
分母が 1 つの根号なら、分子と分母にその根号をかけます。2 + √3 のような和や差なら、共役な式 2 − √3 をかけます。すると平方の差になり、根号が消えます。どちらの場合も 1 をかけているので、値は変わりません。
共役な式とは何ですか。
真ん中の符号だけを逆にした、同じ 2 項のことです。3 − 2√2 の共役な式は 3 + 2√2 です。2 項式に共役な式をかけると平方の差になり、平方根を 2 乗すると根号が消えます。これが分母をきれいにする仕組みです。
立方根や 4 乗根もここで簡単にできますか。
はい、2 から 6 までのどの指数でもできます。法則はそのまま一般化します。立方根では 2 個の組ではなく同じ素数 3 個の組を探すので、54 = 27 かける 2 より、54 の立方根は 3∛2 です。
なぜ √(2/3) は √2/√3 と等しくないのですか。
等しいです。同じ数で、しかもどちらも最も簡単な形ではありません。3 分の 2 の平方根は √2/√3 に等しく、分子と分母に √3 をかけると √6/3 になります。これなら分母に根号がなく、完成した答えです。
