根号の計算機

根号の問題の答えは「形」であって、小数ではない

電卓は 72 の平方根を 8.4852814 と教えてくれます。しかし根号の問題が求めている答えは、ほとんどの場合それではありません。求められているのは 6 かける 2 の平方根、つまり同じ量を、根号の中に完全なべき乗が隠れていない形で書き直したものです。この違いがこの単元のすべてです。根号を簡単にするのは「書き換え」であって「計算」ではなく、小数にした瞬間、保つように求められていた正確さが失われます。

このページの計算はすべて正確です。72 の平方根は 6√2、54 の立方根は 3∛2、3 分の 2 の平方根は √6/3、そして 1 を 2 + √3 で割ると、ちょうど 2 − √3 になります。答えの横には小数も表示しますが、必ず「およその値」と明記しています。だいたいの大きさを知りたいこともあるからで、答えの代わりに渡すことはありません。

3 つの問いが 1 ページに同居しているのは、必要な技能が同じだからです。簡単にするとは、根号の中の数に潜む最大の完全なべき乗を見つけることです。たし算は 2 つの根号が同類項かどうかを教えてくれますが、それは両方を簡単にしないと分かりません。有理化は、根号そのものか共役な式を使って、分母から根号を追い出すことです。3 つはすべて同じ法則に行き着きます。積の根号は、根号の積である、という法則です。

押さえておきたいこと

• 最初に目に入った平方数ではなく、最大の平方数を外に出します。72 は 4 かける 18 でもありますが、そこで止めると √18 が残り、まだ最も簡単な形ではありません。72 は 36 かける 2 でもあり、6√2 で完成です。
• 完全なべき乗は素因数分解の中にあります。72 を 2³·3² と書けば、同じ素数の組 1 つひとつが、平方根の記号の外に出せる因数になります。
• 2 つの根号がたせるのは、根号の中に残った数が同じときだけです。√8 + √18 はたせます。どちらも隠れて √2 の倍数だからです。√8 + √27 はたせず、2√2 + 3√3 が完成した答えです。
• 根号の中の分数と、分母の中の根号は、同じ問題です。3 分の 2 の平方根は最も簡単な形ではありません。中を 3/3 でかけると √6/3 になり、こちらが最も簡単な形です。
• 指数が、どのべき乗が外に出るかを決めます。平方根では 2 個の組、立方根では 3 個の組、4 乗根では 4 個の組が必要です。だから 54 の立方根は 6 ではなく 3 になります。

根号を手で簡単にする手順

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   根号の中の数を素因数分解する

   根号の下の数を素数の積として書きます。72 なら 2·2·2·3·3、つまり 2³·3² です。これを先にやっておけば、平方数が隠れているかどうかを勘で当てる必要がなくなります。

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   指数に合わせて素数を組にする

   平方根なら素数を 2 個ずつ、立方根なら 3 個ずつまとめます。72 の中の組は 2·2 と 3·3 で、2 が 1 つだけ余ります。

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   完全な組 1 つにつき因数 1 つが外に出る

   各組は、その素数を 1 個だけ根号の外に出します。2 の組から 2、3 の組から 3 が出るので外に 6 が出て、余った 2 は下に残ります。つまり 6√2 です。

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   根号の中の分数を取り除く

   中に分母が残っているときは、分母が完全なべき乗になるように中の分数をかけます。3 分の 2 なら 3/3 をかけて 9 分の 6 にすると、√6/3 が出てきます。

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   答えを 2 乗して確かめる

   6√2 を 2 乗すると 36 かける 2、つまり 72 です。この確認は、最もよくある間違いを 1 行で見つけてくれます。小さすぎる因数を外に出すと、2 乗が根号の中の数に届きません。

最も簡単な形にした根号

よく出てくる場合を並べ、それぞれで働いている完全なべき乗を示しました。

解いてみた例

sqrt(72)

3*sqrt(8)

sqrt(8) + sqrt(18)

sqrt(8) + sqrt(27)

3/sqrt(2)

1/(2 + sqrt(3))

よくある間違い

• 最大ではなく最初に見つけた平方数を外に出してしまう。√72 を 2√18 と書くのは正しいけれど未完成で、「最も簡単な根号の形」を求める問題の答えとしては不正解になります。
• 小数で答えてしまう。8.485 は 72 の平方根ではなく、その四捨五入です。問題に根号の記号があれば、根号がちょうど外れる場合を除いて、答えにも根号が残ります。
• 根号の中の数をたしてしまう。√4 + √9 は 2 + 3 = 5 で、√13 ではありません。根号は同類項としてしかたせず、記号の中でたすことはできません。
• 指数の違う根号をかけてしまう。√2 かける ∛2 は √2 でも ∛4 でもありません。積の法則は、まとめる前に 2 つの指数がそろっていることを要求します。
• 分母に根号を残してしまう。√2/2 と 1/√2 は同じ数ですが、最も簡単な形なのは前者だけです。後者は下にまだ根号があります。
• 和の根号を、根号の和として扱ってしまう。9 + 16 の根号は √25 = 5 で、3 + 4 = 7 ではありません。積の法則が分けられるのは積で、和ではありません。
• 負の数の偶数乗根は実数ではないが、奇数乗根は実数だということを忘れてしまう。−16 の実数の 4 乗根はありませんが、−8 の立方根はちょうど −2 です。

根号のよくある質問