半径 3・高さ 5 の円柱
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r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π、約 141.37。高さを掛ける前に半径を2乗してください。逆にすると 225π で、5倍も大きくなります。
体積の計算機
六つの立体。どれも使う前に公式を書き出します。
最終更新
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体積の公式はどれも「面積 × 高さ」
角柱 - 直方体、円柱、上から下まで断面が同じもの - の体積は底面積 × 高さです。この一つの考えでここの六つのうち二つが片づきます: 直方体が縦×横×高さなのは底面積が縦×横だから、円柱が πr²h なのは底面が面積 πr² の円だからです。公式を別々に覚えるより、この型を覚えるほうが強い。
細くなっていくもの - 円錐と角錐 - は、それを包む角柱のちょうど3分の1しか容れません。同じ底面、同じ高さ、体積は3分の1。この 1/3 は恣意的ではなく、この話題でいちばん忘れられるものです。円柱と同じ大きさの円錐はその3分の1しか入らず、一方を他方に注いでみると忘れにくくなります。
球は 4/3πr³ で毛色が違い、正確に保つ理由はここの他すべてと同じです: π は無理数なので 36π が答えで、113.1 はその丸め。このページは記号を保ち、小数を隣に示し、表面積と母線を、それらが正確であるところではすべて添えます。
ここに注目
- 角柱の形をしたものはすべて、体積 = 底面積 × 高さ。そう見ると、四つの公式が「一つの考え + 正しい面積の公式」になります。
- 円錐や角錐は、同じ底面と高さの角柱の3分の1です。1/3 を忘れるのが定番の誤りで、答えがちょうど3倍になります。
- 計算を始める前にすべての寸法を同じ単位にすること。体積はその単位の3乗で出ます。センチとメートルを混ぜるのは100万倍の誤りです。
- 1辺を2倍にすると体積は2倍、3辺すべてを2倍にすると8倍。体積が長さよりずっと速く増える理由です。
- π は答えに属し、途中の式には属しません。45π は正確で、最後に 141.37 まで掛けるのは手間ではなく、検算も簡単です。
- 円錐の母線は高さではありません。母線は半径と高さの斜辺なので根号で出ますし、必要とするのは側面積で、体積ではありません。
体積の求め方
立体を見きわめ、公式を書く
数に触れる前にやってください。立方体 s³、直方体 縦横高、円柱 πr²h、球 4/3πr³、円錐 1/3πr²h、正四角錐 1/3s²h。
単位が揃っているか確かめる
まずすべてを同じ単位に直します。答えを静かに壊す段階で、あとの計算は完璧に見えてしまうからです。
寸法を代入する
何かを計算する前に、自分の数を入れた公式を書き出してください。採点される問題では、この代入した行そのものに配点があるのが普通です。
掛ける前に累乗を処理する
半径 3・高さ 5 の円柱なら、先に 3 を2乗して 9、次に 9 · 5 = 45 で 45π。2乗より先に掛けると別の、そして誤った数になります。
答えは3乗の単位で
半径がセンチメートルなら体積は立方センチメートル。小数を求められていない限り π はそのままに。
六つの公式と、計算した値
それぞれの公式と、小さな例での結果。細くなる二つの立体の 1/3 に注目してください。
| 立体 | 公式 | 例 | 正確な体積 | 小数 |
|---|---|---|---|---|
| 立方体 | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| 直方体 | 縦 · 横 · 高さ | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| 円柱 | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| 球 | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| 円錐 | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| 正四角錐 | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| 球 | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| 円柱 | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
解いてみる
半径 3 の球
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r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π、約 113.1。ここでは 27 と 4/3 がきれいに約されるので、どの教科書も半径 3 を例に使います。表面積も 4πr² = 36π - r = 3 だけの偶然です。
半径 3・高さ 4 の円錐
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r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π、約 37.7。同じ底面・高さで 36π を容れる円柱と比べると、円錐はちょうど3分の1。母線は √(3² + 4²) = 5 で、体積には不要ですが側面積には必要です。
1辺 4 の立方体
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s = 4V = s³ = 4³ = 64、π はどこにもありません。表面積は 6s² = 96 - 立方体には同じ正方形の面が6つあるからです。どちらの答えも整数なので、自分の方法を確かめるのに便利な例です。
答えが分数を残すとき: 半径 2 の球
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r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3、約 33.51。3 は 32 を割らないので、正確な答えは分数を残します。33.5 と書けばそれを失い、この値で続く問題では誤差が旅をします。
よくある間違い
- 円錐や角錐の 1/3 を忘れる。答えがちょうど3倍になり、探し方を知っていればいちばん見つけやすい誤りです。
- 単位を混ぜる。まず換算を: 半径がセンチ、高さがメートルでは、出てくる数に何の意味もありません。
- 2乗より先に掛ける。πr²h で2乗されるのは半径で、積ではありません - π · (3 · 5)² はまったく別の量です。
- 直径を半径として使う。r が2倍になり、円柱の体積は4倍、球の体積は8倍になります。
- 体積と表面積を混同する。一方は内側の広さで3乗の単位、もう一方は外皮で2乗の単位です。
- 円錐の体積に母線を使う。体積には垂直な高さが必要で、母線は側面積のためのものです。
体積についてよくある質問
円柱の体積の公式は?
V = πr²h - 円形の底面積 × 高さ。半径 3・高さ 5 なら π · 9 · 5 = 45π、約 141.37。高さを掛ける前に半径を2乗してください。
球の体積は?
V = 4/3 πr³。半径 3 の球は 4/3 · π · 27 = 36π、約 113.1 を容れます。ここの公式のうち「底面積 × 高さ」と読めない唯一のもので、だから覚えるしかありません。
円錐と角錐の公式に 1/3 があるのはなぜ?
円錐や角錐は、同じ底面と同じ高さの角柱のちょうど3分の1を容れるからです。満杯の円錐を同じ大きさの円柱に注ぐと3分の1が埋まります。この係数は「細くなること」についての事実で、ごまかしではありません。
体積はどんな単位で出ますか?
あなたの寸法の単位の3乗です。センチメートルなら立方センチメートル、メートルなら立方メートル。すべての寸法は計算の前に同じ単位に直す必要があり、そうしないと答えに意味がありません。
直方体の体積はどう求めますか?
三つの寸法を掛けます: V = 縦 · 横 · 高さ。どの角柱とも同じく底面積 × 高さで、直方体の底面積は縦 · 横です。2×3×4 の直方体は 24 立方単位を容れます。
体積と表面積の違いは?
体積は内側の広さで立方単位で測り、表面積は外側の総面積で平方単位で測ります。このページは表面積が正確であるところ - 立方体・直方体・円柱・球 - ではどちらも示します。
円錐の母線とは?
頂点から斜面を下って縁までの長さ: 半径と高さにピタゴラスの定理を使った √(r² + h²)。高さより長く、側面積の公式が必要とするもので、体積には関係しません。
なぜ π を記号のまま保つのですか?
45π が正確で、141.37 は丸めだからです。試験問題が「π を用いて」と求めるのは、電卓なしで検算できるからにほかならず、多段階の問題で早く丸めると後の段階が必要とする精度を失います。
