定番: 2辺が 3 と 4
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a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25、そして √25 = 5 ちょうど。これが 3-4-5 の三角形で、3辺とも整数になる最小のもの。ひと目で見分けられる価値があり、その倍数 6-8-10、9-12-15 も同様です。
ピタゴラスの定理の計算機
描かれた三角形の2辺から3辺目を正確に - 根号もそのまま。
最終更新
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直角をはさむ2辺の平方の和が斜辺の平方
直角三角形では、そしてそこでだけ、a² + b² = c² が成り立ちます。c は斜辺 - 直角の向かい側にあり、つねに3辺のうち最長の辺です。この主張は面積についてのものです: 短い2辺のそれぞれに正方形を作ると、その合計面積が最長辺に作った正方形の面積とぴったり等しくなります。だからすべてを2乗し、だから最後に平方根が必要になるのです。
計算がどちら向きに進むかは、どの辺が未知かで決まり、間違いのほとんどはそこに住んでいます。斜辺を求めるなら2つの平方を足します。直角をはさむ辺を求めるなら引きます: a² = c² − b²。斜辺の平方が全体で、既知の辺の平方はその一部だからです。引くべきところで足すと、斜辺より大きい答えが出ます - あり得ないことで、便利な検算になります。
ここでの答えは正確です。2 と 3 を直角をはさむ2辺とする三角形の斜辺は √13 で、このページは √13 と示します - 隣に 3.6056 を、それが丸めであることを明記して。√20 はそのまま放置せず 2√5 に簡単化し、3辺とも整数になった三角形は、まさにそれであるピタゴラス数として印をつけます。
ここに注目
- 定理が成り立つのは直角三角形だけです。それ以外では a² + b² と c² は単に別の数で、そこでは余弦定理が一般形になります。
- c はつねに最長の辺です。斜辺の答えが他の辺より小さく出たなら、どこかで足し算が引き算にすり替わっています。
- 直角をはさむ辺を求めるのは引き算です。a² = c² − b² は定理から直接出るもので、斜辺よりはるかに多く間違われる場合です。
- 答えのほとんどは無理数です。3辺すべてが整数の三角形 - 3-4-5、5-12-13 - は例外で、だから根号の形が大切になります。
- 直角三角形の面積は ab/2 - 直角をはさむ2辺を掛けて半分にします。斜辺は登場しません。2辺がすでに直角で交わっているからです。
- ピタゴラス数の定数倍もまたピタゴラス数です。3-4-5 を3倍すると 9-12-15。同じ三角形が問題集に繰り返し現れる理由です。
足りない辺の求め方
斜辺を見きわめる
直角の向かい側にあり、3辺のうち最長の辺です。ここを間違えると以降のすべてが狂うので、計算の前にまず印をつけてください。
足すのか引くのかを決める
斜辺が未知なら、2辺の平方を足します。直角をはさむ辺が未知なら、既知の辺の平方を斜辺の平方から引きます。
分かっている辺を2乗する
先に2乗、それから加減。足してから2乗する - (a + b)² - のは別の、はるかに大きい数です。
平方根をとる
これで2乗が解け、辺そのものが出ます。割り切れなければ小数に走らず根号を簡単化してください: √20 は 2√5 です。
大きさで検算する
斜辺は他のどちらの辺より長く、その和より短くなければなりません。どちらかの規則を破っていれば、足し算と引き算が入れ替わっています。
直角三角形を一覧で
覚えておく価値のあるピタゴラス数と、答えが整数にならない場合。正確な列が答えで、小数はその丸めです。
| a | b | c | 正確な値 | 小数 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
解いてみる
無理数の斜辺: 2辺が 2 と 3
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a = 2, b = 34 + 9 = 13 なので斜辺は √13。これが答えです - 3.6056 はその丸めで、3.6056 を2乗すると 13 ではなく 12.9999… になります。直角三角形はほとんどがこの型で、整数になるものが例外です。
根号を簡単にする: 2辺が 2 と 4
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a = 2, b = 44 + 16 = 20 で、√20 はそのままにしません。20 = 4 · 5 で、4 が根号の外に 2 として出て 2√5。同じ数で、どの採点基準も期待する形です。
直角をはさむ辺を求める: 斜辺 5、もう一辺 4
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b = 4, c = 5まず移項: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9 なので a = 3。足していたら √41 ≈ 6.4 になり、斜辺より長くなってしまいます - あり得ないことで、この誤りを即座に捕まえる検算でもあります。
分数の辺: 3/2 と 2
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a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4 で、25/4 の平方根はちょうど 5/2。分数は最後まで分数のままなので、答えは 2.5 ではなく 5/2 です - ここでは同じ数ですが。
よくある間違い
- 足りない辺が直角をはさむ辺なのに足してしまう。斜辺の平方は全体なので、その辺を求めるのはそこから引くことです。
- 平方の和ではなく和の平方をとる。a² + b² は (a + b)² ではありません。後者は 2ab だけ大きく、実際の三角形でそれが 0 になることはありません。
- 違う辺を斜辺と決めてしまう。斜辺は直角の向かい側で、最後に描いた辺や右側の辺ではありません。
- 平方根を忘れる。3² + 4² = 25 は答えの2乗で、答えそのものではありません: 斜辺は 5 で、25 ではありません。
- 直角のない三角形に定理を使う。成り立つのは直角三角形だけで、それ以外は余弦定理が必要です。
- 根号を早く丸めすぎる。√13 の2乗はちょうど 13 ですが、3.61 の2乗は 13.0321。多段階の問題ではこの誤差が育ちます。
ピタゴラスの定理についてよくある質問
ピタゴラスの定理とは?
直角三角形において a² + b² = c²。a と b は短い2辺、c は直角の向かい側にある斜辺です。面積として読めば、2辺の上に作った正方形の面積の合計が、斜辺の上に作った正方形の面積とちょうど等しいということです。
斜辺はどう求めますか?
2辺をそれぞれ2乗して足し、平方根をとります: c = √(a² + b²)。3 と 4 なら √25 = 5。割り切れなければ簡単化した根号のまま残します - √20 は 2√5 になります。
直角をはさむ辺はどう求めますか?
足すのではなく引きます: a² = c² − b²、つまり a = √(c² − b²)。斜辺 5、辺 4 なら √(25 − 16) = 3。最も間違いが多い場合で、検算は「その辺はつねに斜辺より短い」ことです。
ピタゴラス数とは?
定理を満たす3つの整数です: 3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25。その定数倍もまたピタゴラス数なので、6-8-10 と 9-12-15 は 3-4-5 におまけで付いてきます。直角三角形のほとんどはピタゴラス数ではなく、だから無理数の答えが普通なのです。
どんな三角形でも使えますか?
いいえ、直角三角形だけです。それ以外の一般形は余弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cos(C) で、C が 90° でその余弦が 0 のときにちょうどピタゴラスの定理に帰着します。
なぜ小数でなく根号を残すのですか?
根号が正確な答えで、小数はその丸めだからです。√13 の2乗はぴったり 13、3.61 の2乗は 13.0321。多段階の問題ではこの差が積み上がり、どの採点基準もたいてい正確な形を求めます。
三角形が直角かどうか確かめる方法は?
手元の3辺で定理を試します。最長辺を c として a² + b² がちょうど c² に等しければ直角があります。左辺が大きければ鋭角、小さければ鈍角 - これは定理の逆で、実際に役立つ検算です。
分数や小数も使えますか?
使えて、どちらも正確なままです。2辺 3/2 と 2 の斜辺はちょうど 5/2 になり、入力した小数は浮動小数点の近似ではなく、その名が指す正確な分数として読まれます。
