근호 계산기

근호 문제의 답은 형태이고, 소수가 아니다

계산기는 72의 제곱근이 8.4852814라고 알려줍니다. 하지만 근호 문제가 원하는 답은 거의 언제나 그것이 아닙니다. 원하는 것은 6 곱하기 2의 제곱근, 즉 같은 양을 근호 안에 완전한 거듭제곱이 숨어 있지 않은 형태로 다시 쓴 것입니다. 이 차이가 이 단원의 전부입니다. 근호를 간단히 하는 일은 다시 쓰기이지 계산이 아니며, 소수로 바꾸는 순간 지켜야 했던 정확함이 버려집니다.

이 페이지의 모든 계산은 정확합니다. 72의 제곱근은 6√2, 54의 세제곱근은 3∛2, 3분의 2의 제곱근은 √6/3이고, 1을 2 + √3으로 나누면 정확히 2 − √3입니다. 답 옆에는 소수도 함께 보여주지만 반드시 근삿값이라고 표시합니다. 크기를 대략 알고 싶을 때가 있기 때문이며, 답을 대신하는 일은 결코 없습니다.

세 가지 질문이 한 페이지에 함께 있는 이유는 필요한 기술이 같기 때문입니다. 간단히 하기는 근호 안 수에 숨은 가장 큰 완전한 거듭제곱을 찾는 일입니다. 더하기는 두 근호가 동류항인지 알려주는데, 이는 둘을 모두 간단히 해야 알 수 있습니다. 유리화는 근호 자신이나 켤레식을 써서 분모에서 근호를 몰아내는 일입니다. 세 가지 모두 같은 법칙으로 귀결됩니다. 곱의 근호는 근호의 곱이라는 법칙입니다.

눈여겨볼 점

• 가장 먼저 눈에 띈 제곱수가 아니라 가장 큰 제곱수를 꺼내세요. 72는 4 곱하기 18이기도 하지만 거기서 멈추면 √18이 남아 아직 가장 간단한 형태가 아닙니다. 72는 36 곱하기 2이기도 하며 6√2가 완성된 답입니다.
• 완전한 거듭제곱은 소인수분해 안에 있습니다. 72를 2³·3²으로 써 두면, 같은 소수 한 쌍마다 제곱근 기호 밖으로 나올 수 있는 인수가 하나 생깁니다.
• 두 근호는 안에 남은 수가 같을 때만 더할 수 있습니다. √8 + √18은 됩니다. 둘 다 사실은 √2의 배수이기 때문입니다. √8 + √27은 안 되고, 2√2 + 3√3이 완성된 답입니다.
• 근호 안의 분수와 분모 안의 근호는 같은 문제입니다. 3분의 2의 제곱근은 가장 간단한 형태가 아닙니다. 안쪽을 3/3으로 곱하면 √6/3이 되고, 이것이 가장 간단한 형태입니다.
• 지수가 어떤 거듭제곱이 밖으로 나오는지를 정합니다. 제곱근에서는 두 개씩, 세제곱근에서는 세 개씩, 네제곱근에서는 네 개씩 묶여야 합니다. 그래서 54의 세제곱근은 6이 아니라 3입니다.

근호를 손으로 간단히 하는 방법

1. 1

   근호 안의 수를 소인수분해한다

   근호 아래의 수를 소수의 곱으로 씁니다. 72라면 2·2·2·3·3, 즉 2³·3²입니다. 이것을 먼저 해 두면 제곱수가 숨어 있는지 짐작할 필요가 없어집니다.

2. 2

   지수에 맞추어 소수를 묶는다

   제곱근이면 소수를 두 개씩, 세제곱근이면 세 개씩 모읍니다. 72 안의 쌍은 2·2와 3·3이고, 2 하나가 홀로 남습니다.

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   완전한 묶음 하나마다 인수 하나가 나온다

   각 쌍은 그 소수 하나씩을 근호 밖으로 보냅니다. 2의 쌍에서 2가, 3의 쌍에서 3이 나오므로 밖으로 6이 나오고, 홀로 남은 2는 아래에 그대로 있습니다. 즉 6√2입니다.

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   근호 안의 분수를 없앤다

   안쪽에 분모가 남아 있으면, 분모가 완전한 거듭제곱이 되도록 안쪽 분수를 곱합니다. 3분의 2라면 3/3을 곱해 9분의 6으로 만들면 √6/3이 나옵니다.

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   답을 제곱해서 확인한다

   6√2를 제곱하면 36 곱하기 2, 즉 72입니다. 이 확인은 가장 흔한 실수를 한 줄로 잡아냅니다. 너무 작은 인수를 꺼내면 제곱이 근호 안의 수에 미치지 못합니다.

가장 간단한 형태의 근호

자주 나오는 경우들과, 각 경우에서 일을 하는 완전한 거듭제곱을 함께 적었습니다.

풀이 예시

sqrt(72)

3*sqrt(8)

sqrt(8) + sqrt(18)

sqrt(8) + sqrt(27)

3/sqrt(2)

1/(2 + sqrt(3))

자주 하는 실수

• 가장 큰 제곱수가 아니라 처음 찾은 제곱수를 꺼내는 것. √72를 2√18로 쓰는 것은 맞지만 끝나지 않은 상태이며, «가장 간단한 근호 형태»를 묻는 문제의 답으로는 틀린 것으로 처리됩니다.
• 소수로 답하는 것. 8.485는 72의 제곱근이 아니라 그것을 반올림한 값입니다. 문제에 근호 기호가 있으면 근호가 딱 벗겨지는 경우가 아니면 답에도 근호가 남습니다.
• 근호 안의 수를 더하는 것. √4 + √9는 2 + 3 = 5이고 √13이 아닙니다. 근호는 동류항으로서만 더해지며, 기호 안에서 더할 수는 없습니다.
• 지수가 다른 근호를 곱하는 것. √2 곱하기 ∛2는 √2도 ∛4도 아닙니다. 곱의 법칙은 합치기 전에 두 지수가 같기를 요구합니다.
• 분모에 근호를 남기는 것. √2/2와 1/√2는 같은 수이지만 가장 간단한 형태는 앞의 것뿐입니다. 뒤의 것은 아래에 아직 근호가 있습니다.
• 합의 근호를 근호의 합처럼 다루는 것. 9 + 16의 근호는 √25 = 5이고 3 + 4 = 7이 아닙니다. 곱의 법칙이 나눌 수 있는 것은 곱이며 합은 아닙니다.
• 음수의 짝수 지수 근호는 실수가 아니지만 홀수 지수 근호는 실수라는 점을 잊는 것. −16의 실수 네제곱근은 없지만 −8의 세제곱근은 정확히 −2입니다.

근호에 대해 자주 묻는 질문