분배법칙이 무엇인가요?

합에 곱하는 것이 각 부분에 곱한 뒤 더하는 것과 같은 결과를 준다는 법칙입니다. a(b + c) = ab + ac. 대수에서 괄호를 풀 수 있는 것이 이 덕분이고, 7 × 23을 머릿속에서 7 × 20 더하기 7 × 3으로 계산할 수 있는 것도 같은 이유입니다.

왜 a(b + c) = ab + ac가 성립하나요?

양변이 같은 직사각형의 넓이이기 때문입니다. 높이 a, 너비 (b + c)인 직사각형의 넓이는 a(b + c)입니다. 그것을 세로선으로 너비 b인 부분과 너비 c인 부분으로 자르면 두 넓이는 ab와 ac가 됩니다. 도형을 자르는 것이 도형의 양을 바꾸지는 않으므로, 두 식은 같을 수밖에 없습니다.

마이너스 부호가 있으면 어떻게 되나요?

부호가 괄호 안의 모든 항으로 옮겨 갑니다. 그래서 -2(x + 3)은 -2x + 6이 아니라 -2x - 6입니다. 두 항 모두 -2와 곱해집니다. 괄호에서 가장 흔한 실수이고, 수를 대입하면 어떻게 되는지 물어 가며 매번 확인할 값이 있습니다.

전개와 인수분해의 차이는 무엇인가요?

같은 사실을 반대 방향으로 쓰는 것입니다. 전개는 a(b + c)에서 ab + ac로 가며 괄호를 없앱니다. 인수분해는 ab + ac에서 a(b + c)로 돌아가며 괄호를 붙입니다. 규칙을 거꾸로 읽을 수 있는 것이 인수분해를 가능하게 하는 것입니다.

FOIL이 분배법칙인가요?

그렇습니다. FOIL은 분배법칙을 두 번 쓴 것입니다. (x + 2)(x + 3)을 전개하려면 첫 괄호 전체를 두 번째에 분배하고, 각 부분 안에서 다시 분배합니다. FOIL은 그때 나오는 네 곱을 기억하는 장치이고 별개의 규칙이 아닙니다. 그래서 괄호에 항이 세 개가 되면 통하지 않고, 분배는 계속 통합니다.

분배법칙

a(b + c) = ab + ac는 보통 규칙으로 제시된 뒤 반복해서 연습됩니다. 한 번 보고 나면 기억하기 쉬워집니다. 이것은 그림이기 때문입니다. 직사각형 하나를 둘로 자른 그림입니다.

작성: Nethanel Bar, Co-founder & CEO

마지막 업데이트 2026년 8월 25일

이름을 배우지 않은 채 분배법칙을 써 본 일은 거의 확실히 있습니다. 7 × 23을 물으면 대부분 7 × 20 = 140, 다음 7 × 3 = 21을 하고 더해서 161에 이릅니다. 그것이 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3입니다. 규칙을 산술에 쓴 모습입니다.

대수에서는 같은 일을 문자에 대해 합니다. 괄호를 애초에 없앨 수 있는 이유가 그것 입니다. 왜 성립하는지 봅시다.

3(4 + 2) = 3*4 + 3*2 = 18

직사각형을 잘라도 넓이는 바뀌지 않습니다. 그것이 분배법칙의 전부입니다.

직사각형 하나를 자른 것

슬라이더를 a = 3, b = 4, c = 2로 맞추고 모양을 보세요.

직사각형 전체는 높이 3, 너비 4 + 2 = 6이니 넓이는 3(4 + 2) = 18 입니다. 세로로 자른 선이 그것을 3 곱하기 4인 조각과 3 곱하기 2인 조각으로 나누고, 넓이는 각각 3*4 = 12와 3*2 = 6입니다. 그리고 12 + 6은 18입니다.

증명은 이것으로 끝입니다. 직사각형을 자르는 것은 그 넓이를 바꾸지 않습니다. 그러므로 한 덩어리인 식과 두 조각인 식은, 숫자가 무엇이든 같아야 합니다. 세 슬라 이더를 모두 움직여 보세요. 두 합계가 어긋나는 일은 없습니다.

일반적으로 쓰면 a(b + c) = a*b + a*c입니다.

변에 붙은 이름은 볼 값이 있습니다. 어느 수가 무엇을 하는지 말해 주기 때문입니다. a는 괄호 밖에 있고 두 조각 모두에 곱해집니다. 두 조각 모두 높이가 a이기 때문입니다. 괄호 안의 어떤 것도 다른 무엇에 곱해지지 않습니다.

음수인 경우, 사람들이 미끄러지는 곳

이제 c를 0 아래로 내려 보세요.

두 번째 직사각형이 색을 바꾸고 첫 번째 안으로 들어갑니다. 너비가 음수라는 것은 그 조각이 덜어진다는 뜻이기 때문입니다. a = 3, b = 4, c = -2일 때 합계는 3(4 - 2) = 6이고, 두 조각은 3*4 = 12와 마이너스 3*2 = 6입니다. 열둘에서 여섯을 뺀 것입니다.

그러니 마이너스 부호가 두 번째 항으로 옮겨 갑니다.

a(b - c) = a*b - a*c

이것이 대비할 값이 있는 실수입니다. -2(x + 3)을 -2x + 6으로 쓰는 것은 틀렸습니다. -2는 두 항 모두에 곱해져 -2x - 6이 됩니다. 헷갈리면 수를 대입해 보세요. x = 1일 때 원래 식은 -2(1 + 3) = -8이고, -8이 되는 것은 -2x - 6뿐입니다.

이것으로 무언가 풀기

괄호를 없애는 것이 목적 자체인 경우는 거의 없습니다. 문자 하나만 남기기 위한 한 걸음입니다. 푸는 과정 안에 놓아 보겠습니다.

눈여겨볼 만합니다. 위의 경로는 괄호를 전혀 전개하지 않았습니다. 27이 3으로 나누어 떨어지니 양변을 먼저 나누는 편이 빨랐기 때문입니다. 전개는 도구이고 의무가 아닙니다. 3x + 12 = 27까지 전개해도 같은 x = 5에 더 긴 길로 도달할 뿐입니다.

거꾸로 읽기

a*b + a*c = a(b + c)를 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 인수분해가 됩니다. 모든 항에 공통인 인수를 알아보고 앞으로 빼는 일입니다. 6x + 9는 3(2x + 3)이 됩니다. 두 항이 모두 3으로 나누어 떨어지기 때문입니다.

같은 그림을 반대쪽에서 본 것입니다. 직사각형을 자르는 대신, 두 직사각형이 높이가 같아서 붙일 수 있다는 것을 알아차리는 것입니다.

하나 풀어 보기

이것은 일부러 마이너스를 바깥에 두었습니다. -1이 나왔다면 마이너스 부호가 3에 닿지 않은 것입니다.

자주 묻는 질문

분배법칙이 무엇인가요?: 합에 곱하는 것이 각 부분에 곱한 뒤 더하는 것과 같은 결과를 준다는 법칙입니다. a(b + c) = ab + ac. 대수에서 괄호를 풀 수 있는 것이 이 덕분이고, 7 × 23을 머릿속에서 7 × 20 더하기 7 × 3으로 계산할 수 있는 것도 같은 이유입니다.
왜 a(b + c) = ab + ac가 성립하나요?: 양변이 같은 직사각형의 넓이이기 때문입니다. 높이 a, 너비 (b + c)인 직사각형의 넓이는 a(b + c)입니다. 그것을 세로선으로 너비 b인 부분과 너비 c인 부분으로 자르면 두 넓이는 ab와 ac가 됩니다. 도형을 자르는 것이 도형의 양을 바꾸지는 않으므로, 두 식은 같을 수밖에 없습니다.
마이너스 부호가 있으면 어떻게 되나요?: 부호가 괄호 안의 모든 항으로 옮겨 갑니다. 그래서 -2(x + 3)은 -2x + 6이 아니라 -2x - 6입니다. 두 항 모두 -2와 곱해집니다. 괄호에서 가장 흔한 실수이고, 수를 대입하면 어떻게 되는지 물어 가며 매번 확인할 값이 있습니다.
전개와 인수분해의 차이는 무엇인가요?: 같은 사실을 반대 방향으로 쓰는 것입니다. 전개는 a(b + c)에서 ab + ac로 가며 괄호를 없앱니다. 인수분해는 ab + ac에서 a(b + c)로 돌아가며 괄호를 붙입니다. 규칙을 거꾸로 읽을 수 있는 것이 인수분해를 가능하게 하는 것입니다.
FOIL이 분배법칙인가요?: 그렇습니다. FOIL은 분배법칙을 두 번 쓴 것입니다. (x + 2)(x + 3)을 전개하려면 첫 괄호 전체를 두 번째에 분배하고, 각 부분 안에서 다시 분배합니다. FOIL은 그때 나오는 네 곱을 기억하는 장치이고 별개의 규칙이 아닙니다. 그래서 괄호에 항이 세 개가 되면 통하지 않고, 분배는 계속 통합니다.