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A parábola de melhor ajuste pelos seus pontos, com coeficientes exatos e R².
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O curso de matemática da Coddy ensina o método em si: você trabalha cada passo em um quadro interativo e descobre exatamente onde a jogada deu errado.
Alguns dados sobem e depois descem, ou descem e depois sobem: a altura de uma bola lançada, o lucro com preços diferentes, o combustível que um carro gasta em velocidades diferentes. Uma reta por dados assim tem o formato errado, por melhor que seja posicionada. A regressão quadrática ajusta uma parábola, y = ax² + bx + c, e escolhe a, b e c para que os erros verticais ao quadrado em relação aos pontos somem o mínimo possível. É a mesma ideia de mínimos quadrados da regressão linear, com um coeficiente a mais para escolher.
Minimizar os erros ao quadrado leva a três equações em a, b e c, chamadas equações normais, montadas com as somas de x, x², x³, x⁴, y, xy e x²y. Uma calculadora gráfica as resolve em ponto flutuante. Esta página as resolve com frações exatas, então um coeficiente de -8/7 aparece como -8/7 e não como -1,142857, e R² também é uma fração exata.
O valor previsto e o resíduo de cada ponto ficam listados embaixo da resposta. Um bom ajuste quadrático deixa resíduos que parecem ruído, espalhados acima e abaixo de zero sem padrão. Se eles ainda formam uma curva, ou crescem de forma constante ao longo da tabela, a parábola também não é o formato certo, e vale a pena tentar outro modelo.
Para cada ponto calcule x, x², x³, x⁴, y, xy e x²y, depois some cada coluna e conte os pontos. Para x = 0, 1, 2, 3 e y = 1, 2, 5, 11: n = 4, Σx = 6, Σx² = 14, Σx³ = 36, Σx⁴ = 98, Σy = 19, Σxy = 45 e Σx²y = 121.
aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy e aΣx² + bΣx + cn = Σy. Com as somas acima: 98a + 36b + 14c = 121, 36a + 14b + 6c = 45 e 14a + 6b + 4c = 19.
Elimine uma letra de cada vez, mantendo as frações exatas. Este sistema dá a = 1,25, b = -0,45 e c = 1,05, então y = 1,25x² - 0,45x + 1,05.
Coloque cada x na curva e subtraia a previsão do y real. Aqui os resíduos são -0,05; 0,15; -0,15 e 0,05, seus quadrados somam 0,05, e R² = 1214/1215, cerca de 0,9992.
Cada linha é um conjunto de dados digitado na calculadora acima, com os coeficientes exatos e o R² que ela informa.
| Valores de x | Valores de y | Parábola de melhor ajuste | R² |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 | 1, 2, 5, 11 | y = 1.25x² - 0.45x + 1.05 | 1214/1215 ≈ 0.9992 |
| -2, -1, 0, 1, 2, 3 | 9, 4, 1, 0, 1, 4 | y = x² - 2x + 1 | 1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2, 6, 11, 13, 12, 8 | y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 | 887/917 ≈ 0.9673 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 2, 17, 22, 17, 2 | y = -5x² + 20x + 2 | 1 |
| 1, 2, 3 | 4, 9, 20 | y = 3x² - 4x + 5 | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 0, 1, 4, 9, 16, 25 | y = x² | 1 |
x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11As equações normais dão a = 1,25, b = -0,45 e c = 1,05, então y = 1,25x² - 0,45x + 1,05. As previsões são 1,05; 1,85; 5,15 e 10,95, os resíduos -0,05; 0,15; -0,15 e 0,05, e R² = 1214/1215, cerca de 0,9992.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8A parábola de melhor ajuste é y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 com R² = 887/917, cerca de 0,9673. Como a é negativo, a curva tem um máximo, em x = 33/8 = 4,125 e y = 697/56, cerca de 12,45. Uma reta pelos mesmos pontos chega só a r² = 375/917, cerca de 0,4089, porque não consegue fazer a curva.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2Alturas em metros a cada segundo. O ajuste é exato: y = -5x² + 20x + 2, com todo resíduo igual a 0 e R² = 1. O -5 é metade da aceleração da gravidade arredondada para 10 m/s², o 20 é a velocidade de lançamento e o 2 é a altura de lançamento. O máximo fica em x = 2, y = 22.
x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4Estes são os valores de (x - 1)², e a calculadora devolve y = x² - 2x + 1, a mesma parábola com o produto desenvolvido, com R² = 1 e todo resíduo igual a 0. É um jeito rápido de conferir se um conjunto de valores vem mesmo de uma única função quadrática.
