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Calculadora de arredondamento

Os dois vizinhos, as distâncias exatas e o que cada convenção faz num empate.

Por Nethanel Bar, Cofundador e CEO

Última atualização

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Arredondar é uma comparação, não uma regra

Para arredondar um número você só precisa de dois candidatos: o múltiplo da posição escolhida logo abaixo dele e o logo acima. 3.472 com uma casa decimal fica entre 3.4 e 3.5, a 0.072 do primeiro e a 0.028 do segundo - então 3.5 ganha. «Olhe o próximo algarismo e suba se for 5 ou mais» é um atalho para exatamente essa comparação, e é um atalho muito bom.

O atalho só se torna uma decisão real no ponto médio, onde nenhum vizinho está mais perto. Ali a resposta depende de verdade da convenção usada, e há seis de uso corrente: o arredondamento escolar manda o empate para longe do zero, um banco manda para o vizinho par, a função ARREDONDAR.PARA.BAIXO de uma planilha sempre desce e o truncamento simplesmente joga o resto fora. Esta página mostra as seis lado a lado no seu número, porque é essa a pergunta que uma página de arredondamento deveria responder.

Ver um empate exige aritmética exata. Em ponto flutuante binário 2.675 é na verdade 2.67499999999999982…, e por isso quase toda calculadora, planilha e linguagem de programação arredonda para 2.67 e insiste que nunca houve empate. Aqui o número é guardado como fração exata, então 2.675 é um empate, a página diz isso, e o artigo explica por que a sua outra calculadora discordou.

O que observar

  • Os dois vizinhos são sempre múltiplos da posição para a qual você arredonda. Para a dezena mais próxima são 1270 e 1280; para duas casas decimais, 2.67 e 2.68.
  • Só a distância importa, não os algarismos. A regra do algarismo funciona porque um algarismo 5 ou maior É a metade distante do intervalo - é uma abreviação da comparação, não uma lei separada.
  • Algarismos significativos contam da primeira cifra diferente de zero, não da vírgula. 0.004567 com dois algarismos significativos é 0.0046 - os zeros iniciais são marcadores, não algarismos.
  • As convenções só discordam num empate. Fora dele, arredondar para cima, para o par ou para baixo dá o mesmo, e é por isso que quase ninguém percebe que existe mais de uma regra.
  • A regra escolar é «para longe do zero», não «para mais infinito». Por isso -2.5 vira -3 com ela, enquanto uma função teto daria -2.
  • Arredondar duas vezes não é o mesmo que arredondar uma. 2.446 com duas casas é 2.45, e arredondar ISSO para uma dá 2.5 - mas arredondar o original direto para uma casa dá 2.4.

Como arredondar um número

  1. Decida para o que está arredondando

    Um número de casas decimais, um valor posicional (dezenas, centenas) ou um número de algarismos significativos. Tudo o que vem depois é o mesmo trabalho em qualquer dos casos.

  2. Encontre os dois vizinhos

    O múltiplo dessa posição logo abaixo do seu número e o logo acima. Para 3.472 com uma casa: 3.4 e 3.5.

  3. Veja qual está mais perto

    Compare as distâncias (0.072 contra 0.028) ou use o atalho: olhe o primeiro algarismo após a posição e suba se for 5 ou mais. As duas respondem à mesma pergunta.

  4. Se cair exatamente no meio, aplique uma convenção

    A regra escolar arredonda para longe do zero: 2.5 vai a 3 e -2.5 vai a -3. Estatísticos e bancos costumam mandar para o vizinho par, então 2.5 vai a 2 e 3.5 vai a 4.

  5. Mantenha a posição para a qual arredondou

    Arredondar 1274 para a centena mais próxima dá 1300, não 13. Os zeros sustentam o valor: dizem até que posição a resposta é exata.

Os mesmos números, arredondados de quatro formas

Arredondamento escolar (5 ou mais sobe) aplicado a cada posição. Note os números que não se movem: já são múltiplos exatos daquela posição.

Número1 casa2 casasDezena2 alg. signif.
3.4723.53.4703.5
2.6752.72.6802.7
12741274127412701300
0.0045670000.0046
-2.5-2.5-2.50-2.5
9.96109.961010
0.50.50.500.5
149.5149.5149.5150150

Exemplos resolvidos

3.472 com uma casa decimal

plain
3.472

Os vizinhos são 3.4 e 3.5. As distâncias são 0.072 e 0.028, então 3.5 está mais perto e é a resposta. O atalho concorda: o algarismo após os décimos é 7, que é 5 ou mais, logo sobe. O erro de arredondamento é 0.028 - é o que «uma casa decimal» custa.

O empate que nenhuma calculadora vê: 2.675 com duas casas

plain
2.675

Guardado com exatidão, este número fica precisamente no meio de 2.67 e 2.68. O arredondamento escolar sobe para 2.68; um banco mandaria para o vizinho par, também 2.68; para baixo daria 2.67. Seu celular quase certamente diz 2.67, porque em binário 2.675 é guardado um pouco abaixo da metade.

Um empate negativo: -2.5 para o inteiro mais próximo

plain
-2.5

A regra escolar age sobre o algarismo, então arredonda para longe do zero: -3. Uma função teto vai para mais infinito e dá -2; um piso dá -3; o truncamento joga o .5 fora e dá -2. Quatro respostas defensáveis, e é exatamente por isso que a convenção precisa ser dita.

Algarismos significativos: 0.004567 com dois

plain
0.004567

A contagem começa no 4, então dois algarismos significativos são o 4 e o 6, e o algarismo decisivo é o 7 que vem depois: sobe para 0.0046. Os três zeros iniciais não são algarismos - são marcadores dizendo onde o número fica.

Quando o arredondamento propaga: 9.96 com uma casa

plain
9.96

Os vizinhos são 9.9 e 10.0, e 9.96 está mais perto do segundo, então a resposta é 10 - o transporte atravessa as unidades. É o caso que pega as pessoas, porque o algarismo antes da posição arredondada também muda.

Nada a fazer: 149.5 com uma casa

plain
149.5

149.5 já é múltiplo exato de 0.1, então não há dois vizinhos para escolher e o número volta inalterado, com erro de arredondamento zero. Para a dezena mais próxima é outra história: aí HÁ empate, e o arredondamento escolar dá 150.

Erros comuns

  • Arredondar em etapas. Arredonde sempre a partir do número ORIGINAL: 2.446 levado a duas casas e depois a uma dá 2.5, mas arredondado direto para uma casa é 2.4.
  • Tirar os zeros que sustentam a posição. 1274 para a centena mais próxima é 1300; escrever 13 muda o número por um fator de cem.
  • Contar algarismos significativos da vírgula. Em 0.004567 o primeiro algarismo significativo é o 4, então dois algarismos significativos são 0.0046 e não 0.00.
  • Supor que o comportamento da sua calculadora num empate é a matemática. A função ARRED de uma planilha arredonda o empate para longe do zero e o round() do Python para o par: as duas são defensáveis, a discordância é de convenção.
  • Ler «arredondar para cima» como «para mais infinito» nos negativos. Pela regra escolar -2.5 vai a -3, porque a regra do algarismo olha o tamanho e ignora o sinal.
  • Esquecer que um número arredondado é uma aproximação. Depois de escrever 3.5, os 0.028 foram embora de vez - então arredonde no FIM da conta, nunca no meio.

Perguntas frequentes sobre arredondamento

Como arredondo um número para uma casa decimal?
Olhe o primeiro algarismo após a posição desejada. Se for 5 ou mais, suba; caso contrário, desça. Para 3.472 com uma casa o algarismo seguinte é 7, então a resposta é 3.5. De forma equivalente e mais honesta: escolha o mais próximo entre 3.4 e 3.5.
O 5 sempre sobe?
Pela regra ensinada na escola, sim - e um 5 sozinho é justamente o caso em que os dois vizinhos estão igualmente perto, então a regra é uma convenção, não um fato. Outras convenções existem e são muito usadas: arredondar para o vizinho par, para baixo ou para o zero.
O que é arredondamento bancário e por que existe?
É arredondar a metade para o par: o empate vai para o vizinho par, então 2.5 vira 2 e 3.5 vira 4. Subir sempre os empates enviesa uma coluna longa de números para cima; mandar metade para baixo cancela esse viés. É o padrão no ponto flutuante IEEE e em vários pacotes estatísticos.
Como arredondo para algarismos significativos?
Conte a partir do primeiro algarismo diferente de zero, não da vírgula, e arredonde nessa posição. 0.004567 com dois algarismos significativos é 0.0046, e 123456 com três é 123000. Esta página descobre onde cai essa posição e então arredonda normalmente.
Por que minha calculadora diz que 2.675 arredonda para 2.67?
Porque ela nunca teve 2.675. Em ponto flutuante binário esse valor é guardado como 2.67499999999999982…, que está genuinamente abaixo do meio, então a calculadora arredonda corretamente o número que realmente tem. Esta página guarda o número como fração exata e por isso vê o empate que a sua calculadora não pode ver.
Como os números negativos são arredondados?
Depende da convenção, e é exatamente por isso que esta página mostra as seis. A regra escolar do algarismo arredonda para longe do zero, dando -3 para -2.5. Um teto vai para mais infinito (-2), um piso para menos infinito (-3) e o truncamento para o zero (-2).
Qual a diferença entre arredondar e truncar?
Truncar joga fora tudo depois da posição, não importa o que diga: 3.99 truncado para inteiro é 3. Arredondar escolhe o vizinho mais próximo, então 3.99 vira 4. O truncamento é mais rápido e sempre enviesado para o zero, e por isso serve num contador de laço e é perigoso com dinheiro.
Em que ponto da conta devo arredondar?
No final. Arredondar valores intermediários joga fora informação que você ainda precisa e os erros acumulam: é por isso que as respostas exatas destas páginas mantêm frações como frações e radicais como radicais até você pedir um decimal.

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