Menu
Coddy logo textMath
ÖĞRENMEYE BAŞLA
flag Tr iconTürkçedown icon

Doğrusal Regresyon Hesaplama

Noktalarınızdan geçen en uygun doğru, tam olarak, r ve çözümün her adımıyla.

Yazan Nethanel Bar, Kurucu Ortak ve CEO

Son güncelleme

Bunları hesap makinesi olmadan çözmek ister misin?

Coddy matematik dersi yöntemin kendisini öğretir: her adımı etkileşimli bir tahtada işlersin ve hangi hamlenin nerede yanlış gittiğini tam olarak öğrenirsin.

Ücretsiz başla

Doğrusal regresyon, noktaları en az ıskalayan tek doğruyu bulur

Gerçek veriler hiçbir zaman tek bir doğrunun üzerinde durmaz; bu yüzden içinden çizdiğiniz her doğru noktaların çoğunu ıskalar. Her ıskalama bir artıktır: gerçek y eksi doğrunun tahmin ettiği y. Doğrusal regresyon her artığın karesini alır, kareleri toplar ve bu toplamı olabildiğince küçük yapan tek doğruyu seçer. O doğru, en küçük kareler regresyon doğrusudur, en uygun doğru da denir; x değerlerinin hepsi aynı olmayan her nokta kümesi için tam olarak bir tane vardır.

Onu bulmak için beş sayı yeter: nokta sayısı n ile x, y, xy ve x² toplamları. Eğim m = (nΣxy eksi ΣxΣy) bölü (nΣx² eksi (Σx)²), kesim noktası b = (Σy eksi mΣx) bölü n'dir. Bu sayfa o toplamların tablosunu kurar, sayılarınızı iki formüle de yerleştirir ve çözümün her satırını gösterir, çünkü öğretmenin kontrol ettiği kısım o tablodur.

Eğim ve kesim noktası tam kesir olarak tutulur. Tam sayılardan, ondalıklardan ve kesirlerden oluşan verilerde ikisi de her zaman rasyoneldir; bu yüzden 162/35 eğim 162/35 olarak basılır, onun yuvarlanmış hâli olan 4.6286 olarak değil. Korelasyon katsayısı r bir kareköktür, bu yüzden yanında ondalığıyla birlikte köklü ifade olarak görünür. Kopyala düğmesi doğruyu ondalıklarla, bir hesap tablosuna hazır biçimde verir.

Doğru hakkında dikkat edilecekler

  • Her zaman ortalamalar noktasından geçer. x = 1'den 5'e ve y = 2, 4, 5, 4, 5 için ortalamalar 3 ve 4'tür, doğru y = 0.6x + 2.2'dir ve 0.6 × 3 + 2.2 = 4 olur.
  • Artıklarının toplamı her zaman tam olarak sıfırdır. Doğrunun üstündeki ve altındaki ıskalamalar birbirini dengeler; yöntemin onları toplamadan önce kareye yükseltmesinin nedeni budur.
  • Eğimin birimi vardır: x biriminin başına y birimi. Çalışılan saate karşı sınav puanında 162/35 eğim, her ek saat için yaklaşık 4.63 puan fazla demektir.
  • x ile y'nin yerini değiştirmek aynı doğruyu yeniden düzenlemez, başka bir doğru verir. y'nin x'e göre regresyonu düşey ıskalamaları küçültür; x'in y'ye göre regresyonu yataydakileri.
  • Eğim eğilimin ne kadar dik olduğunu, r ise noktaların onu ne kadar sıkı izlediğini söyler. İşaretleri hep aynıdır, ama dik bir doğrunun r'si zayıf, yatık bir doğrunun r'si güçlü olabilir.
  • İki nokta her zaman r = 1 veya -1 ile kusursuz uyum verir. Bu, veri hakkında hiçbir şey söylemez; bir regresyon doğrusu üç veya daha fazla noktayla anlam kazanmaya başlar.

Regresyon doğrusu elle nasıl bulunur

  1. Tabloyu kurun

    Her noktayı dört sütunlu bir satır olarak yazın: x, y, xy ve x². Her sütunu toplayın ve noktaları sayın. x = 1, 2, 3, 4, 5 ve y = 2, 4, 5, 4, 5 için bu n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 ve Σx² = 55 verir.

  2. Eğimi hesaplayın

    m = (nΣxy eksi ΣxΣy) / (nΣx² eksi (Σx)²). Burada bu (5 × 66 eksi 15 × 20) / (5 × 55 eksi 15²) = 30 / 50 = 0.6 eder. Kısa bir ondalık çıkmıyorsa kesir olarak bırakın.

  3. Kesim noktasını hesaplayın

    b = (Σy eksi mΣx) / n. Burada (20 eksi 0.6 × 15) / 5 = 11/5 = 2.2. Önceki adımdaki tam eğimi kullanın, yuvarlanmışını değil.

  4. Doğruyu yazın ve kontrol edin

    y = 0.6x + 2.2. Ortalamalar noktası (3, 4)'ten geçtiğini kontrol edin: 0.6 × 3 + 2.2 = 4. Geçmiyorsa toplamlardan biri yanlıştır.

  5. Uyumu değerlendirin

    r'yi hesaplayın ya da artıklara bakın. Burada r = √15/5, yaklaşık 0.7746; artıklar -0.8, 0.6, 1, -0.6 ve -0.2'dir ve karelerinin toplamı 2.4'tür.

Küçük veri kümeleri için en uygun doğrular

Her satır, yukarıdaki hesaplayıcıya yazılmış bir veri kümesidir. Eğim ve kesim noktası tamdır; r, ondalığıyla birlikte köklü ifade olarak gösterilir.

x değerleriy değerleriEn uygun doğrurr²
1, 2, 3, 4, 52, 4, 5, 4, 5y = 0.6x + 2.2√15/5 ≈ 0.77460.6
0, 1, 2, 37, 5, 3, 1y = -2x + 7-11
2, 4, 6, 8, 103, 7, 8, 12, 15y = 1.45x + 0.329√215/430 ≈ 0.9889841/860
1, 2, 3, 4, 5, 652, 58, 61, 67, 70, 76y = (162/35)x + 47.89√15/35 ≈ 0.9959243/245
1, 2, 3, 4, 53, 1, 4, 1, 5y = 0.4x + 1.6√2/4 ≈ 0.35360.125
1, 32, 8y = 3x - 111
-2, -1, 0, 1, 24, 1, 0, 1, 4y = 200

Çözümlü örnekler

Kitaptaki küme

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5

Toplamlar n = 5 ile Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 ve Σx² = 55'tir. Eğim 30/50 = 0.6, kesim noktası 11/5 = 2.2, yani doğru y = 0.6x + 2.2'dir. Artıklar -0.8, 0.6, 1, -0.6 ve -0.2'dir; toplamları 0, karelerinin toplamı 2.4'tür. Korelasyon r = √15/5, yaklaşık 0.7746: güçlü ve pozitif.

Kesirli bir eğim: çalışılan saate karşı sınav puanı

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76

Ortalamalar 3.5 saat ve 64 puandır. Eğim 162/35, saat başına yaklaşık 4.63 puan; kesim noktası 64 eksi (162/35) × 3.5 = 47.8'dir. Yani y = (162/35)x + 47.8 ve r ≈ 0.9959. 4.5 saatte doğru 2402/35, yaklaşık 68.63 tahmin eder. 12 saatte ise 100 üzerinden değerlendirilen bir sınavda yaklaşık 103.34 tahmin eder: verilerin destekleyemeyeceği bir dış değer kestirimi.

Zaten bir doğru üzerinde olan noktalar

plain
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1

x'teki her 1 birimlik adım y'yi 2 azaltır, yani noktalar tam olarak y = -2x + 7 üzerindedir. Hesaplayıcı bu doğruyu bulur; her artık 0'dır, artıkların kareleri toplamı 0'dır ve r = -1: tam negatif korelasyon.

Verinin içinde ve dışında tahmin

plain
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15

Doğru y = 1.45x + 0.3, r ≈ 0.9889'dur ve ortalamalar noktası (6, 9)'dan geçer. Verinin içindeki x = 7'de 10.45 tahmin eder; bu, uyum kadar güvenebileceğiniz bir ara değer kestirimidir. x = 60'ta 87.3 tahmin eder: son noktanın elli birim ötesi, verilerde eğilimin orada sürdüğünü söyleyen hiçbir şey yok.

Bir eğriyi gizleyen güçlü r

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25

En uygun doğru y = 5x - 10/3 ve r ≈ 0.9599; kulağa mükemmel geliyor. Artıklar 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3 ve 10/3'tür: iki uçta pozitif, ortada negatif. Bu U biçimi noktaların bir eğri üzerinde durduğunu gösterir ve ikinci dereceden regresyon onları tam olarak y = x² ile uydurur.

Sık yapılan hatalar

  • Kesim noktasını hesaplamadan önce eğimi yuvarlamak. Eğim 162/35 iken 4.63 kullanmak kesim noktasını 47.8 yerine 47.795 yapar. Tam eğimi sona kadar taşıyın, en sonda bir kez yuvarlayın.
  • nΣx² ile (Σx)²'yi karıştırmak. x = 1'den 5'e için ilki 5 × 55 = 275, ikincisi 15² = 225'tir. Yerlerini değiştirmek paydanın işaretini değiştirir.
  • Değerleri sırasız eşleştirmek. İlk x, ilk y'ye aittir. Bir sütunu ötekiyle birlikte sıralamadan sıralamak, var olmayan noktalardan geçen bir doğru üretir.
  • Verinin çok ötesine kestirimde bulunmak. Doğru, uydurulduğu aralığı tarif eder; o aralığın çok dışındaki bir tahmin, r 1'e yakın olsa bile çok yanlış çıkabilir.
  • Yüksek bir r'yi düz doğrunun doğru model olduğunun kanıtı saymak. 0'dan 25'e kareler r ≈ 0.96 verir ve yine de bir eğri üzerindedir. Artıklara bakın.
  • Eğimi bir neden olarak okumak. Doğru, bu verilerde y'nin x ile nasıl değişme eğiliminde olduğunu söyler; x'i değiştirmenin y'yi değiştireceğini değil.
  • Soru y'nin x'e göre regresyonunu isterken x'i y'ye göre uydurmak. Bütün noktalar tek bir doğru üzerinde değilse iki regresyon doğrusu farklıdır.

Doğrusal regresyon hakkında sık sorulanlar

Doğrusal regresyon elle nasıl hesaplanır?
Her nokta için x, y, xy ve x² içeren bir tablo yapın ve sütunları toplayın. Eğim m = (nΣxy eksi ΣxΣy) / (nΣx² eksi (Σx)²), kesim noktası b = (Σy eksi mΣx) / n'dir. x = 1'den 5'e ve y = 2, 4, 5, 4, 5 için bu m = 30/50 = 0.6 ve b = 11/5 = 2.2 verir, yani y = 0.6x + 2.2. Bu sayfa aynı tabloyu basar ve iki formülü de doldurur; böylece her satırı kontrol edebilirsiniz.
En küçük kareler regresyon doğrusu nedir?
Artıkların kareleri toplamını olabildiğince küçük yapan doğrudur; artık, bir noktanın gerçek y'si eksi doğrunun tahmin ettiği y'dir. x değerlerinin hepsi eşit olmadığı sürece tektir. Yukarıdaki beş nokta için başka hiçbir doğru kareler toplamını 2.4'ün altına indiremez.
Eğim ve kesim noktası ne anlama gelir?
Eğim, x'teki her 1 birimlik artış için y'nin ortalama ne kadar değiştiğidir; birimi x biriminin başına y birimidir. Kesim noktası, x 0 iken tahmin edilen y'dir. Kesim noktası ancak x = 0 verinin içinde ya da yakınındaysa bir anlam taşır; kilonun boya göre regresyonunda boy 0'daki kesim noktası gerçek hiçbir insanı tarif etmez.
En uygun doğru, regresyon doğrusuyla aynı şey mi?
Evet. İstatistikte en uygun doğru, en küçük kareler regresyon doğrusudur ve bu hesaplayıcının bulduğu da odur. Kâğıt üzerinde gözle çizilen bir en uygun doğru onun bir tahminidir ve hesaplanan doğrunun her zaman yaptığı gibi ortalamalar noktasından geçmelidir.
Bir regresyon doğrusu için iyi bir r kare değeri nedir?
Alana bağlıdır. r², y'deki değişimin doğrunun açıkladığı payıdır; yani 0.9, %90 demektir. Kontrollü bir fizik deneyinin ölçümleri çoğu zaman 0.99'a ulaşır; insanlarla ilgili veriler çoğu zaman 0.3 ile 0.5 arasında kalır ve yine de işe yarar. Yüksek bir r² düz doğrunun doğru biçim olduğunu kanıtlamaz, o yüzden artıkları da kontrol edin.
Doğrusal regresyon için kaç nokta gerekir?
İki nokta bir doğru belirler, bu yüzden hesaplayıcı ikiyi kabul eder; ama iki noktadan geçen bir doğru her zaman kusursuz uyar ve veri hakkında hiçbir şey söylemez. Üç veya daha fazla noktayla artıklar, r ve r² bilgi taşımaya başlar; nokta arttıkça eğim daha güvenilir olur.
Regresyon doğrusunu tahmin için kullanabilir miyim?
x değerlerinizin aralığı içinde evet: bu bir ara değer kestirimidir ve uyum kadar iyidir. Aralığın dışında ise dış değer kestirimidir ve verilerde eğilimin sürdüğünü söyleyen hiçbir şey yoktur. Bu sayfadaki sınav puanı örneği, 100 üzerinden bir sınav için 12 saat çalışmaya yaklaşık 103 puan tahmin eder.
Cevaplar neden ondalık değil de kesir?
Çünkü rasyonel veriler üzerindeki en küçük kareler doğrusunun eğimi ve kesim noktası rasyonel sayılardır ve kesir tam değerdir. Eğim 162/35'tir; 4.6286 onun yuvarlanmış hâlidir ve o yuvarlamadan yapılan her tahmin hatayı taşır. Gerektiğinde Kopyala düğmesi ondalıkları verir.

Diğer matematik araçları

Ki-Kare Hesaplayıcı

Bir çapraz tabloda bağımsızlık ya da uyum iyiliği, her beklenen sayım kesin.

Korelasyon Katsayısı Hesaplama

Verinizden Pearson r, köklü ifade olarak tam, gücü ve arkasındaki çözümle birlikte.

İkinci Dereceden Regresyon Hesaplama

Noktalarınızdan geçen en uygun parabol, tam katsayılar ve R² ile.

Üstel Regresyon Hesaplama

Büyüme ya da azalma verisine uyan y = a·bˣ eğrisi, adım başına oranıyla.

Coddy programlama dilleri çizimi

Coddy ile matematik öğren

BAŞLA