Klasik olan: √72
plain
sqrt(72)72 = 2³·3². Çiftler 2·2 ve 3·3 tür; bir 2 ile bir 3 ü dışarı gönderir, içeride bir 2 bırakır. Yani √72 = 6√2 ve karesini alınca 36·2 = 72 çıkar.
Köklü sayı hesaplama
Kökleri sadeleştir, birleştir ve paydayı rasyonel yap: cevap bir biçimdir, ondalık bir sayı değil.
Son güncelleme
Bunları hesap makinesi olmadan çözmek ister misin?
Coddy matematik dersi yöntemin kendisini öğretir: her adımı etkileşimli bir tahtada işlersin ve hangi hamlenin nerede yanlış gittiğini tam olarak öğrenirsin.
Köklü bir sorunun cevabı bir biçimdir, ondalık bir sayı değil
Bir hesap makinesi size 72 nin karekökünün 8,4852814 olduğunu söyler. Bu, köklü bir sorunun istediği cevap neredeyse hiç değildir. İstenen şey 6 kere 2 nin karekökü, yani aynı büyüklüğün kök işaretinin altında saklı hiçbir tam kuvvet kalmayacak şekilde yazılmış hâlidir. Bu fark konunun tamamıdır: bir kökü sadeleştirmek yeniden yazmaktır, hesaplamak değil, ve ondalık bir sayı korumanız istenen kesinliği çöpe atar.
Bu sayfadaki her şey tamdır. 72 nin karekökü 6√2, 54 ün küpkökü 3∛2, üçte ikinin karekökü √6/3 ve bir bölü iki artı √3 tam olarak 2 − √3 tür. Her cevabın yanında, açıkça yaklaşık olduğu belirtilmiş bir ondalık değer de verilir – çünkü bazen büyüklüğün kabaca ne olduğunu bilmek istersiniz – ama bu değer asla cevabın yerine konmaz.
Üç soru bu sayfayı paylaşıyor, çünkü aynı beceriyi paylaşıyorlar. Sadeleştirmek, kök içindeki en büyük tam kuvveti bulmaktır. Toplamak, iki kökün benzer terim olup olmadığını söyler; bunu da ikisini sadeleştirmeden bilemezsiniz. Rasyonel yapmak, ya kökün kendisini ya da eşleniği kullanarak kökü paydadan çıkarmaktır. Üçü de aynı kurala dayanır: bir çarpımın kökü, köklerin çarpımıdır.
Dikkat edilmesi gerekenler
- İlk gördüğünüz değil, EN BÜYÜK tam kareyi dışarı çıkarın. 72 aynı zamanda 4 kere 18 dir ve orada durmak √18 bırakır ki bu hâlâ en basit biçim değildir. 72 aynı zamanda 36 kere 2 dir ve 6√2 bitmiş cevaptır.
- Tam kuvvet asal çarpanlara ayırmanın içinde yaşar. 72 bir kez 2³·3² olarak yazıldığında, eşit asalların her çifti karekök işaretinin dışına çıkabilecek bir çarpandır.
- İki kök yalnızca içlerinde kalan sayılar aynıysa toplanır. √8 + √18 olur, çünkü ikisi de gizlice √2 nin katıdır. √8 + √27 olmaz ve 2√2 + 3√3 bitmiş cevaptır.
- Kök içindeki bir kesir ile paydadaki bir kök aynı sorundur. Üçte ikinin karekökü en basit biçimde değildir; içeriyi 3/3 ile genişletmek onu √6/3 yapar ve bu biçim en basittir.
- Derece, hangi kuvvetin dışarı çıkacağını söyler. Karekökte çiftler, küpkökte üçerli gruplar, dördüncü kökte dörderli gruplar gerekir. 54 ün küpkökünün 6 değil 3 vermesinin sebebi budur.
Bir kök elle nasıl sadeleştirilir
Kök içindeki sayıyı asal çarpanlara ayırın
Kök işaretinin altındaki sayıyı asalların çarpımı olarak yazın. 72 için bu 2·2·2·3·3, yani 2³·3² dir. Bunu önce yapmak, içeride bir tam kare saklı mı diye tahmin etmek zorunda kalmamak demektir.
Asalları dereceye göre gruplayın
Karekök için asalları çiftler hâlinde, küpkök için üçerli gruplar hâlinde toplayın. 72 içindeki çiftler 2·2 ve 3·3 tür, bir 2 de tek başına kalır.
Her tam grup için bir çarpan dışarı çıkar
Her çift, o asalın tek bir kopyasını kökün dışına verir. 2 çifti bir 2, 3 çifti bir 3 verir, yani dışarı 6 çıkar ve yalnız kalan 2 içeride durur: 6√2.
Kök içindeki kesri temizleyin
İçeride bir payda kalıyorsa, içteki kesri paydayı tam kuvvet yapacak şeyle genişletin. Üçte iki için 3/3 ile genişletin, 6/9 olsun; oradan √6/3 çıkar.
Cevabınızın karesini alarak kontrol edin
6√2 nin karesi 36 kere 2, yani 72 dir. Bu kontrol en sık yapılan hatayı tek satırda yakalar: çok küçük bir çarpanı dışarı almak, kök içindeki sayıdan küçük bir kare bırakır.
En basit biçimdeki kökler
En sık karşılaşılan durumlar; her birinde işi yapan tam kuvvet adıyla yazılı.
| Kök | İçindeki tam kuvvet | En basit biçim | Yaklaşık |
|---|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 | 2.828 |
| √12 | 4 | 2√3 | 3.464 |
| √18 | 9 | 3√2 | 4.243 |
| √32 | 16 | 4√2 | 5.657 |
| √50 | 25 | 5√2 | 7.071 |
| √72 | 36 | 6√2 | 8.485 |
| √(2/3) | yok – 3 ü temizle | √6 / 3 | 0.816 |
| ∛54 | 27 | 3∛2 | 3.780 |
| 3 / √2 | yok – rasyonel yap | 3√2 / 2 | 2.121 |
| 1 / (2 + √3) | yok – eşlenik | 2 - √3 | 0.268 |
Çözümlü örnekler
Önünde katsayı olan: 3√8
plain
3*sqrt(8)Önce kökü sadeleştirin: √8, 2√2 dir. Sonra katsayıları çarpın: 3·2 = 6, yani cevap 6√2. Katsayı asla kök içine girmez.
Toplanamaz görünenleri toplamak: √8 + √18
plain
sqrt(8) + sqrt(18)Sadeleştirmeden önce hiçbir terim √2 den söz etmiyor: √8 = 2√2 ve √18 = 3√2. Artık benzer terimler, o hâlde katsayıları toplayın: 5√2.
Benzer olmayan kökler: √8 + √27
plain
sqrt(8) + sqrt(27)Sadeleştirilmiş hâlleri 2√2 ve 3√3. Kök içindeki sayılar farklı olduğu için benzer terim değiller, yani 2√2 + 3√3 cevaptır – yapılacak başka bir şey kalmadı.
Paydada bir kök: 3 bölü √2
plain
3/sqrt(2)Payı ve paydayı √2 ile çarpın. Değer değişmez, çünkü √2/√2 = 1 dir ve payda 2 olur. Cevap 3√2/2.
Eşlenik: 1 bölü 2 + √3
plain
1/(2 + sqrt(3))Payı ve paydayı 2 − √3 ile çarpın. Payda 2² − (√3)², yani 4 − 3 = 1 olur, dolayısıyla ifadenin tamamı tam olarak 2 − √3 tür.
Sık yapılan hatalar
- En büyüğü yerine ilk gördüğü tam kareyi dışarı çıkarmak. √72 yi 2√18 olarak yazmak doğrudur ama bitmemiştir ve «en basit kök biçimi» sorusunun cevabı olarak yanlış sayılır.
- Cevabı ondalık vermek. 8,485 72 nin karekökü değildir, onun yuvarlanmış hâlidir. Soruda kök işareti varsa cevapta da kalır – kök tam çıkmıyorsa.
- Kök içindeki sayıları toplamak. √4 + √9 = 2 + 3 = 5 tir, √13 değil. Kökler yalnızca benzer terim olarak toplanır, asla kök işaretinin içinde değil.
- Farklı dereceli kökleri çarpmak. √2 kere ∛2 ne √2 ne de ∛4 tür: çarpma kuralı, birleştirmeden önce iki derecenin aynı olmasını ister.
- Paydada kök bırakmak. √2/2 ile 1/√2 aynı sayıdır ama yalnızca ilki en basit biçimdedir; ikincisinin altında hâlâ bir kök vardır.
- Bir toplamın kökünü köklerin toplamı gibi işlemek. 9 + 16 nın kökü √25 = 5 tir, 3 + 4 = 7 değil. Çarpma kuralı çarpımları ayırır, toplamları ayırmaz.
- Negatif bir sayının çift dereceli kökünün gerçel olmadığını, tek derecelinin ise olduğunu unutmak. −16 nın gerçel dördüncü kökü yoktur, ama −8 in küpkökü tam olarak −2 dir.
Köklü sayılar hakkında sık sorulanlar
En basit kök biçimi nedir?
Bir kök, içindeki sayıda tam kuvvet olan hiçbir çarpan kalmadığında, kök içinde kesir olmadığında ve hiçbir paydada kök bulunmadığında en basit biçimdedir. Yani 6√2 en basit biçimdir, 2√18 değildir – aynı sayı olsalar bile.
Bir karekök nasıl sadeleştirilir?
Kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırın, asalları çiftler hâlinde toplayın ve her çiftin bir kopyasını kökün dışına gönderin. Eşi olmayan içeride kalır. √72, 6√2 olur çünkü 72 = 2³·3² dir.
Neden doğrudan ondalık değer verilmiyor?
Çünkü ondalık bir sayı yaklaşıktır, kök ise tamdır. √2 nin sonlu bir ondalık açılımı yoktur, dolayısıyla 1,414 dördüncü basamakta zaten yanlıştır; sınav cevapları, sonraki cebir işlemleri ve daha sonra yapılacak her sadeleştirme doğru kalmak için tam biçime ihtiyaç duyar.
İki kök ne zaman toplanabilir?
Yalnızca sadeleştirdikten sonra kök içindeki sayılar aynıysa ve dereceler uyuşuyorsa. O zaman tam olarak x + x gibi davranırlar: katsayıları toplayın, kökü koruyun. √8 + √18 = 5√2 dir; √8 + √27 hiçbir şekilde birleştirilemez.
Payda nasıl rasyonel yapılır?
Payda tek bir kökse payı ve paydayı o kökle çarpın. 2 + √3 gibi bir toplam veya fark ise eşleniğiyle, yani 2 − √3 ile çarpın: ortaya çıkan kareler farkında hiç kök kalmaz. Her iki durumda da 1 ile çarpmış olursunuz, bu yüzden değer hiç değişmez.
Eşlenik nedir?
Ortadaki işareti ters çevrilmiş aynı iki terim: 3 − 2√2 nin eşleniği 3 + 2√2 dir. Bir iki terimliyi eşleniğiyle çarpmak kareler farkı verir ve bir karekökün karesi alınınca kök kaybolur – paydayı temizleyen tam olarak budur.
Burada küpkök ve dördüncü kök sadeleştirebilir miyim?
Evet, 2 ile 6 arasındaki her derece. Kural genelleşir: küpkökte çiftler yerine eşit asalların üçerli gruplarını ararsınız, bu yüzden 54 ün küpkökü 3∛2 dir – çünkü 54 = 27 kere 2.
√(2/3) neden √2/√3 e eşit değil?
Eşittir – ikisi aynı sayıdır ve hiçbiri en basit biçimde değildir. Üçte ikinin karekökü √2/√3 e eşittir ve payı paydayı √3 ile genişletmek √6/3 verir; bu biçimin paydasında kök yoktur ve bitmiş cevaptır.
