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Unabhängigkeit auf einer Kontingenztafel oder Anpassungstest, mit jeder erwarteten Häufigkeit exakt.
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Jeder Chi-Quadrat-Test vergleicht eine Tabelle beobachteter Häufigkeiten mit den Häufigkeiten, die eine Hypothese vorhersagt. Beim Unabhängigkeitstest lautet die Hypothese, dass die Zeilenvariable und die Spaltenvariable nichts miteinander zu tun haben, also ist jede erwartete Häufigkeit die Zeilensumme mal die Spaltensumme durch die Gesamtsumme. Beim Anpassungstest ist die Hypothese ein Satz von Anteilen, gleiche Anteile für einen fairen Würfel oder 9:3:3:1 für Mendels Erbsen, skaliert auf deine Summe. So oder so ist die Statistik dieselbe Summe: für jede Zelle beobachtet minus erwartet, zum Quadrat, geteilt durch erwartet.
Diese Summe ist exakt. Eine 2-mal-2-Tabelle mit den Häufigkeiten 20, 30, 30, 20 hat überall die erwartete Häufigkeit 25 und ein Chi-Quadrat von genau 4; eine unordentlichere Tabelle hat erwartete Häufigkeiten wie 350/3, und diese Seite behält sie als 350/3 statt 116,67, sodass die Statistik, die du liest, die wahre ist und nicht eine Summe aus fünf gerundeten Termen. Was nicht exakt sein kann, ist der p-Wert, die Fläche unter der Chi-Quadrat-Kurve jenseits der Statistik; die Seite zeichnet diesen Rand und kennzeichnet die Zahl als die Fläche, die sie ist.
Die Tabelle unter der Antwort ist der Teil, auf den Studierende geprüft werden und den die meisten Rechner überspringen: die beobachtete Häufigkeit jeder Zelle, ihre erwartete Häufigkeit und ihr Beitrag zur Statistik. Sie zeigt auch, wo der Zusammenhang sitzt. In einer großen Tabelle tragen oft ein oder zwei Zellen den Großteil des Chi-Quadrats, und die Beitragsspalte zeigt auf sie. Cramérs V, für Kontingenztafeln angegeben, verwandelt die Statistik in eine Effektstärke zwischen 0 und 1, die über Tabellen verschiedener Größe vergleichbar ist.
Zeilen für die Kategorien der einen Variable, Spalten für die der anderen. Summiere jede Zeile, jede Spalte und die ganze Tabelle.
Zeilensumme mal Spaltensumme, geteilt durch die Gesamtsumme. Behalte die Brüche; sie werden gleich quadriert.
Beobachtet minus erwartet, zum Quadrat, durch erwartet. Addiere sie alle; die Summe ist die Chi-Quadrat-Statistik.
(Zeilen − 1)(Spalten − 1). Der p-Wert ist die rechte Randfläche der Chi-Quadrat-Kurve mit so vielen Freiheitsgraden; vergleiche mit Alpha, oder die Statistik mit dem kritischen Wert.
Die Statistik muss diese Werte überschreiten, damit das Ergebnis auf dem jeweiligen Niveau signifikant ist.
| Freiheitsgrade | α = 0,10 | α = 0,05 | α = 0,01 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2,706 | 3,841 | 6,635 |
| 2 | 4,605 | 5,991 | 9,210 |
| 3 | 6,251 | 7,815 | 11,345 |
| 4 | 7,779 | 9,488 | 13,277 |
| 5 | 9,236 | 11,070 | 15,086 |
| 9 | 14,684 | 16,919 | 21,666 |
20, 30 / 30, 20Zeilensummen 50 und 50, Spaltensummen 50 und 50, Gesamtsumme 100, also ist jede erwartete Häufigkeit 50 × 50 / 100 = 25. Jede Zelle trägt 25/25 = 1 bei, das Chi-Quadrat ist genau 4 bei einem Freiheitsgrad, und der p-Wert ist etwa 0,046. Signifikant bei 5 %, gerade so; Cramérs V ist 0,2, ein schwacher Zusammenhang.
10, 12, 8, 11, 9, 10 over six facesSechzig Würfe, also zehn erwartet pro Seite. Die Beiträge sind 0, 0,4, 0,4, 0,1, 0,1 und 0, was ein Chi-Quadrat von genau 1 bei fünf Freiheitsgraden und einen p-Wert von etwa 0,96 ergibt. Nichts hier deutet darauf hin, dass der Würfel gezinkt ist.
315, 108, 101, 32 against 9 : 3 : 3 : 1Die Summe ist 556, die erwarteten Häufigkeiten sind also 556 × 9/16 = 312,75, 104,25, 104,25 und 34,75. Das Chi-Quadrat kommt auf etwa 0,47 bei drei Freiheitsgraden, p etwa 0,93: Die Häufigkeiten passen fast verdächtig gut zur 9:3:3:1-Vorhersage, was für sich genommen ein berühmtes Argument ist.
