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Additionsverfahren Schritt für Schritt, mit beiden Geraden und ihrem Schnittpunkt.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Zwei Gleichungen in x und y sind zwei Geraden in derselben Ebene. Ein Paar (x, y), das beide Gleichungen erfüllt, ist ein Punkt, der auf beiden Geraden liegt - also der Schnittpunkt. Das ist die ganze Idee, und sie erklärt alle Fälle auf einmal: Geraden, die sich einmal schneiden, ergeben eine Lösung, parallele Geraden keine, und eine zweimal gezeichnete Gerade unendlich viele.
Additions- und Einsetzungsverfahren sind nur Wege, diesen Schnittpunkt ohne Zeichnung zu finden. Diese Seite macht beide Hälften: das Bild, damit du siehst, was die Lösung bedeutet, und das Verfahren Zeile für Zeile, damit du siehst, wie sie gefunden wurde. Die meisten Rechner liefern nur eines von beidem.
Die beiden Sonderfälle werden benannt statt als Fehlschlag gemeldet. «Keine Lösung» und «unendlich viele Lösungen» sind echte Antworten mit echter Bedeutung, und ein Löser, der dabei die Achseln zuckt, lehrt Angst vor der Aufgabe. Hier wird die Lage aus den Koeffizienten bestimmt, sodass die Seite den Fall auch dann nennen kann, wenn es kein Paar zum Ausgeben gibt.
Wie auf Papier: 2x + y = 5 in die erste Zeile, x - y = 1 in die zweite. Brüche und Dezimalzahlen als Koeffizienten sind erlaubt.
Das Paar steht oben. Darunter sagt ein Satz, was das System geometrisch ist: ein Schnittpunkt, parallel, oder dieselbe Gerade zweimal.
Die Geraden werden mit markiertem Schnittpunkt gezeichnet. Überrascht die Antwort, erklärt das Bild sie meist schneller als die Algebra.
Die numerierten Schritte zeigen, welche Unbekannte wie beseitigt wurde und was übrig blieb. Genau dieses Verfahren sollst du reproduzieren.
Jedes 2x2-System ist einer davon, und welcher, erkennt man an den Geraden noch vor jeder Rechnung.
| Fall | Die Geraden | Beispiel |
|---|---|---|
| Eine Lösung | Cross once | 2x + y = 5, x - y = 1 → (2, 1) |
| Keine Lösung | Parallel, different intercepts | x + y = 3, x + y = 5 |
| Unendlich viele | The same line twice | x + y = 3, 2x + 2y = 6 |
| Nur eine Gleichung | A whole line of solutions | 2x + 3y = 7 |
| Drei Unbekannte | Planes, not lines | x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2 |
2x + y = 5; x - y = 1Addieren beseitigt y sofort, weil +y und -y sich aufheben: 3x = 6, also x = 2, und dann y = 1 aus einer der beiden Gleichungen. Das Bild zeigt die Geraden mit Schnittpunkt (2, 1) - ein Punkt, eine Antwort.
x + y = 3; x + y = 5Subtrahieren liefert 0 = -2, was kein Zahlenpaar reparieren kann. Das ist kein Versagen des Lösers, sondern die Antwort. Die Geraden haben gleiche Steigung und verschiedene Achsenabschnitte, treffen sich also nie, und das System hat keine Lösung.
x + y = 3; 2x + 2y = 6Die zweite Gleichung ist die erste verdoppelt, zeichnet also dieselbe Gerade. Jeder Punkt darauf erfüllt beide, also unendlich viele Lösungen. Im Bild siehst du nur eine Gerade, weil es nur eine gibt.
x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2Mit z = 2 und x = y werden drei Gleichungen zu einer, und es folgt x = y = 2. Hier gibt es kein Bild - drei Unbekannte sind Ebenen, keine Geraden - aber das Beseitigen ist dasselbe Verfahren, eine Unbekannte auf einmal.
