Der Einheitskreis
Ein Kreis mit Radius 1 - und darin jeder Wert von Sinus, Kosinus und Tangens, den du je auswendig können sollst. Zieh den Winkel und sieh, woher die Zahlen kommen.
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Fast alles, was Menschen an Trigonometrie schwer finden, ist eigentlich ein Gedächtnisproblem: zu viele Werte, zu viele Vorzeichen und keine Möglichkeit zu prüfen, ob das, was man gerade hingeschrieben hat, überhaupt plausibel ist. Der Einheitskreis behebt das. Er ist ein einziges Bild, das jeden Wert enthält, den du brauchst - und das ein falsches Vorzeichen offensichtlich falsch aussehen lässt.
Zieh unten am Punkt. Achte dabei auf die zwei gestrichelten Katheten.
Zieh den Punkt. Die grüne Kathete ist cos, die rote sin - deshalb ist der Punkt (cos, sin).
Warum der Punkt (cos, sin) ist
Der Kreis hat Radius 1, und genau darin liegt der ganze Trick.
Zeichne vom Mittelpunkt eine Gerade in irgendeinem Winkel bis zum Kreis und zieh dann von diesem Punkt ein Lot hinunter auf die x-Achse. Du hast jetzt ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse der Radius ist - die Hypotenuse ist also 1.
In diesem Dreieck ist der Kosinus Ankathete durch Hypotenuse. Die Ankathete ist die waagerechte Seite und die Hypotenuse ist 1, also ist der Kosinus die waagerechte Kathete: Das Teilen durch 1 ändert nichts. Dasselbe Argument macht den Sinus zur senkrechten Kathete.
Die Koordinaten des Punktes sind deshalb genau (cos(x), sin(x)) - erst die waagerechte Strecke, dann die senkrechte. Darum ist die grüne Kathete in der Abbildung als Kosinus beschriftet und die rote als Sinus, und darum steht der Kosinus vorn: x vor y, waagerecht vor senkrecht.
Der Tangens ist der dritte und keine Strecke im Bild - er ist das Verhältnis sin(x)/cos(x), also die Steigung der Geraden, die du gezeichnet hast.
Die drei Zahlen, die du wirklich brauchst
Stell die Abbildung nacheinander auf 30, 45 und 60 Grad und sieh die Werte an:
| Winkel | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | sqrt(3)/2 | 1/2 |
| 45° | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 |
| 60° | 1/2 | sqrt(3)/2 |
Drei verschiedene Werte - 1/2, sqrt(2)/2 und sqrt(3)/2 - und beachte, dass 30° und 60° dasselbe Paar in umgekehrter Reihenfolge sind. Das ist kein Zufall: Die beiden Winkel ergeben zusammen 90°, ihre Dreiecke sind also dasselbe Dreieck, nur vom anderen Ende her betrachtet.
Alles in den drei anderen Quadranten ist eine dieser drei Zahlen mit einem Vorzeichen davor. Welches, entscheidet der Ort - und du kannst es direkt am Bild ablesen: Der Kosinus ist die waagerechte Strecke, also ist er in der linken Kreishälfte negativ. Der Sinus ist die senkrechte Strecke, also ist er in der unteren Hälfte negativ. Nichts zu lernen - schau einfach, wohin die Kathete zeigt.
Grad und Radiant sind derselbe Winkel
Stell die Abbildung auf Radiant und zieh noch einmal herum. Am Bild ändert sich nichts, nur die Beschriftung.
Eine ganze Umdrehung sind 360° und ebenso 2pi Radiant - denn der Umfang eines Kreises mit Radius 1 ist 2pi, und "ein Radiant" heißt "ein Bogen von der Länge eines Radius". Eine halbe Umdrehung sind 180° oder pi. Von da an sind die besonderen Winkel offensichtliche Bruchteile einer halben Umdrehung: 30° ist ein Sechstel von 180°, also pi/6; 45° ein Viertel, pi/4; 60° ein Drittel, pi/3.
Radiant sieht schwerer aus und ist in Wahrheit leichter, weil der Nenner dir sagt, wie viele dieser Winkel in eine halbe Umdrehung passen.
Wo der Tangens zerbricht
Zieh auf 90° und die Tangens-Anzeige sagt nicht definiert. Das ist keine Schwäche des Werkzeugs, sondern Rechnen. Bei 90° liegt der Punkt senkrecht oben bei (0, 1), also ist cos(x) gleich 0 - und der Tangens ist sin(x)/cos(x). Es gibt keine Zahl, die 1 geteilt durch 0 wäre.
Dasselbe passiert bei 270°. Überall sonst ist der Tangens eine völlig gewöhnliche Zahl, und bei 45° ist er genau 1 - was Sinn ergibt, denn dort sind Sinus und Kosinus gleich, und alles durch sich selbst geteilt ist 1.
Probier eine
Leg die Abbildung kurz beiseite und antworte aus dem Kopf. Wenn es schiefgeht, ist der Kreis gleich da.
Wenn du nachsehen musstest, ist das eine nützliche Information: Das Bild ist noch nicht in Fleisch und Blut übergegangen - und ein Dutzend solcher Aufgaben ist genau das, was daran etwas ändert.
Häufige Fragen
- Was ist der Einheitskreis?
- Es ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Sein Nutzen kommt aus einer einzigen Tatsache: Wenn du vom Mittelpunkt aus eine Gerade in einem bestimmten Winkel zeichnest und markierst, wo sie den Kreis schneidet, dann sind die Koordinaten dieses Punktes genau (Kosinus des Winkels, Sinus des Winkels). Der Kreis macht so aus einer Frage über Dreiecke eine Frage über Koordinaten - und die ist viel leichter vorstellbar.
- Warum ist der Punkt (cos, sin) und nicht (sin, cos)?
- Weil der Kosinus die waagerechte Strecke misst und die x-Koordinate die waagerechte ist. Zieh vom Punkt ein Lot auf die x-Achse und du hast ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1. Die waagerechte Kathete liegt am Winkel an, ist also Kosinus geteilt durch 1 - und damit der Kosinus selbst. Die senkrechte Kathete liegt gegenüber, ist also der Sinus. Die x-Koordinate ist deshalb der Kosinus und die y-Koordinate der Sinus, in dieser Reihenfolge.
- Muss ich den ganzen Einheitskreis auswendig lernen?
- Nein, und es zu versuchen ist der übliche Fehler. Es gibt nur drei Werte, die du brauchst - 1/2, √2/2 und √3/2 - und eine Regel für die Vorzeichen. Alles andere sind diese drei Zahlen mit einem Plus oder Minus davor, und welches es ist, entscheidet der Quadrant. Lerne den ersten Quadranten und die Vorzeichenregel, dann hast du alle sechzehn Winkel.
- Wie rechne ich zwischen Grad und Radiant um?
- Eine ganze Umdrehung sind 360 Grad und ebenso 2π Radiant, also sind eine halbe Umdrehung 180 Grad und π Radiant. Daraus folgt die Umrechnung: Grad mal π/180 ergibt Radiant, Radiant mal 180/π ergibt Grad. In der Praxis rechnest du das selten aus - 30, 45, 60 und 90 Grad sind π/6, π/4, π/3 und π/2, und jeder andere besondere Winkel ist ein Vielfaches davon.
- Warum ist der Tangens bei 90 Grad nicht definiert?
- Weil der Tangens Sinus geteilt durch Kosinus ist und der Kosinus bei 90 Grad 0 ist. Durch Null zu teilen ergibt keine Zahl, also hat der Tangens dort keinen Wert. Im Schaubild des Tangens sieht man das als senkrechte Asymptote: Je näher der Winkel an 90 Grad kommt, desto weiter schießt der Wert weg, ohne irgendwo anzukommen.
Jetzt mach es selbst, richtig
Den Rechenweg von jemand anderem zu lesen ist nicht dasselbe, wie ihn selbst gehen zu können. Der Mathe-Kurs von Coddy setzt dich an ein Board, das jeden deiner Schritte prüft - so merkst du, wo du wirklich stehst.
