Der Einheitskreis
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Der Punkt zu jedem Winkel darauf ist (cos, sin), deshalb fasst eine einzige Grafik jeden besonderen Wert von Sinus, Kosinus und Tangens.
Zuletzt aktualisiert
Diese Grafik zeigt Sinus und Kosinus an allen sechzehn besonderen Winkeln, in Grad und im Bogenmaß. Schalte sie auf tan um oder auf einen leeren Kreis, den du ausdrucken und ausfüllen kannst.
Einheitskreis mit allen Werten
Einheitskreis Tabelle
Jeder Wert aus der Grafik in einer Tabelle. Tan ist sin geteilt durch cos, also gibt es keinen Wert, wo cos gleich 0 ist.
| Grad | Bogenmaß | cos | sin | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | nicht definiert |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | nicht definiert |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Warum der Punkt (cos, sin) ist
Zieh den Punkt um den Kreis und beobachte die beiden gestrichelten Katheten.
Zieh den Punkt. Die grüne Kathete ist cos und die rote sin, deshalb ist der Punkt (cos, sin).
Der Kreis hat den Radius 1, und das ist der ganze Trick. Zeichne vom Mittelpunkt eine Strecke in einem Winkel bis zum Kreis und fälle von diesem Punkt ein Lot auf die x-Achse. Jetzt hast du ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse der Radius ist, also ist die Hypotenuse 1.
In diesem Dreieck ist der Kosinus Ankathete durch Hypotenuse. Die Ankathete ist die waagerechte Kathete, und die Hypotenuse ist 1, also ist der Kosinus die waagerechte Kathete. Mit demselben Argument ist der Sinus die senkrechte Kathete. Der Punkt ist also (cos(x), sin(x)): erst der waagerechte Abstand, dann der senkrechte, x vor y.
Die drei Zahlen, die du wirklich brauchst
Der erste Quadrant enthält jeden Wert, den der Kreis benutzt:
| Winkel | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
Drei verschiedene Werte: 1/2, √2/2 und √3/2. 30° und 60° haben dasselbe Paar, nur vertauscht. Die beiden Winkel ergeben zusammen 90°, also sind ihre Dreiecke dasselbe Dreieck, vom anderen Ende aus gesehen.
Vorzeichen in den vier Quadranten
Jeder Winkel außerhalb des ersten Quadranten benutzt eine dieser drei Zahlen mit einem Vorzeichen. Um sie zu finden, nimm den Bezugswinkel, den Winkel zwischen der Strecke und der x-Achse: 150° liegt 30° vor 180°, also ist sein Bezugswinkel 30°, und seine Werte sind die von 30° mit neuen Vorzeichen.
Die Vorzeichen ergeben sich daraus, wo der Punkt liegt. Cos ist der waagerechte Abstand, also ist er auf der linken Kreishälfte negativ. Sin ist der senkrechte Abstand, also ist er auf der unteren Hälfte negativ. Die Grafik markiert jeden Quadranten mit seinen Vorzeichen von (cos, sin):
| Quadrant | Winkel | cos | sin | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° bis 90° | + | + | + |
| II | 90° bis 180° | − | + | − |
| III | 180° bis 270° | − | − | + |
| IV | 270° bis 360° | + | − | − |
Also ist 150° gleich (−√3/2, 1/2), und 210°, dessen Bezugswinkel ebenfalls 30° ist, ist (−√3/2, −1/2).
Der Einheitskreis im Bogenmaß
Eine volle Umdrehung ist 360° und zugleich 2π im Bogenmaß, denn der Umfang eines Kreises mit Radius 1 ist 2π: Ein Radiant ist ein Bogen, der so lang ist wie der Radius. Eine halbe Umdrehung ist 180° oder π.
Von dort aus sind die besonderen Winkel Bruchteile einer halben Umdrehung. 30° ist ein Sechstel von 180°, also π/6; 45° ist ein Viertel, π/4; 60° ein Drittel, π/3. Der Nenner sagt, wie oft dieser Winkel in eine halbe Umdrehung passt, und der Zähler zählt sie: 150° sind fünf Sechstel einer halben Umdrehung, 5π/6.
Tangens am Einheitskreis
Tan ist das Verhältnis sin(x)/cos(x), also die Steigung der Strecke vom Mittelpunkt zum Punkt. Bei 45° sind sin und cos gleich, also ist tan genau 1. Bei 30° ist er √3/3 und bei 60° √3.
Bei 90° liegt der Punkt genau oben bei (0, 1), also ist cos gleich 0 und tan nicht definiert: Es gibt keine Zahl, die 1 geteilt durch 0 ist, und eine senkrechte Gerade hat keine Steigung. Dasselbe passiert bei 270°. Überall sonst folgt tan der Vorzeichenregel: positiv, wo sin und cos dasselbe Vorzeichen haben (Quadranten I und III), negativ, wo sie sich unterscheiden. Die tan-Fassung der Grafik zeigt jeden Wert.
Einheitskreis Quiz und Übungen
Schalte den Kreis zum Ziehen oben auf Frag mich ab: Er verbirgt die Werte, du nennst sie und prüfst dann. Oder beantworte diese Aufgabe aus dem Kopf:
Zum Üben auf Papier druckst du die leere Grafik aus und trägst alle sechzehn Punkte ein. Wenn du das in unter zwei Minuten ohne Nachsehen schaffst, kannst du den Einheitskreis.
Häufige Fragen
Was ist der Einheitskreis?
Es ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Zeichne vom Mittelpunkt aus eine Gerade in einem Winkel und markiere, wo sie den Kreis schneidet: Die Koordinaten dieses Punktes sind genau (Kosinus des Winkels, Sinus des Winkels). So wird aus einer Frage über Dreiecke eine Frage über Koordinaten, und die kann man sich viel leichter vorstellen.
Welche Werte hat der Einheitskreis?
An den sechzehn besonderen Winkeln ist jede Koordinate 0, 1/2, √2/2, √3/2 oder 1, mit Vorzeichen. Im ersten Quadranten gilt: 30° ist (√3/2, 1/2), 45° ist (√2/2, √2/2) und 60° ist (1/2, √3/2). Jeder andere besondere Winkel wiederholt eines dieser Paare mit den Vorzeichen seines Quadranten. Die Tabelle auf dieser Seite zeigt alle sechzehn, mit tan.
Gibt es den Einheitskreis zum Ausdrucken oder leer?
Ja. Die Grafik oben auf dieser Seite lässt sich als PDF im Letter-Format oder als PNG herunterladen, in drei Fassungen: mit Koordinaten, mit Koordinaten und tan, und leer. Die leere Fassung behält den Kreis, die Achsen und die sechzehn Punkte, damit du jede Beschriftung selbst eintragen kannst.
Warum ist der Punkt auf dem Kreis (cos, sin) und nicht (sin, cos)?
Weil der Kosinus den waagerechten Abstand misst und die x-Koordinate die waagerechte ist. Fälle vom Punkt ein Lot auf die x-Achse, dann entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 1. Die waagerechte Kathete ist die Ankathete des Winkels, also ist sie cos durch 1, einfach cos. Die senkrechte Kathete ist die Gegenkathete, also ist sie sin.
Wie merke ich mir den Einheitskreis?
Lerne drei Zahlen und eine Regel. Die Zahlen sind 1/2, √2/2 und √3/2, die Werte im ersten Quadranten. Die Regel betrifft das Vorzeichen: cos ist auf der linken Kreishälfte negativ und sin auf der unteren. Jeder andere Winkel hat einen Wert aus dem ersten Quadranten mit diesen Vorzeichen, den du über seinen Bezugswinkel findest.
Wie rechne ich Grad in Bogenmaß um?
Eine volle Umdrehung sind 360 Grad und zugleich 2π im Bogenmaß, eine halbe also 180 Grad und π. Multipliziere Grad mit π/180, um das Bogenmaß zu erhalten, oder das Bogenmaß mit 180/π, um Grad zu erhalten. So ist 30° gleich π/6, 45° gleich π/4, 60° gleich π/3 und 90° gleich π/2.
Warum ist tan bei 90 Grad nicht definiert?
Tan ist sin geteilt durch cos. Bei 90° liegt der Punkt genau oben bei (0, 1), also ist cos gleich 0, und durch 0 kann man nicht teilen. Dasselbe passiert bei 270°. Am Kreis sieht man es auch: tan ist die Steigung der Geraden vom Mittelpunkt, und eine senkrechte Gerade hat keine Steigung.
Diese und alle verwandten Formeln auf einem Blatt zum Ausdrucken:
Trigonometrie-Formeln