z = 1,96, zweiseitig
plain
z = 1.96Die Fläche rechts von 1,96 auf der Normalkurve ist 0,025; verdoppelt für zwei Seiten ist sie 0,05. Das ist der Grenzfall: genau signifikant auf dem 5-%-Niveau, und deshalb ist 1,96 die Zahl, die sich alle merken.
p-Wert-Rechner
Von einer z-, t- oder Chi-Quadrat-Statistik zum p-Wert, mit gezeichnetem Rand und erklärter Entscheidung.
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Ein p-Wert ist eine Fläche, und diese Seite zeichnet sie
Ein p-Wert beantwortet eine einzige enge Frage: Wenn die Nullhypothese wahr wäre, wie oft würde eine mindestens so extreme Statistik auftauchen? Dieses "wie oft" ist eine Fläche unter einer Kurve, und die Kurve hängt von der Statistik ab. Ein z-Wert lebt auf der Standardnormalkurve, eine t-Statistik auf der t-Kurve mit schwereren Rändern für ihre Freiheitsgrade, und eine Chi-Quadrat-Statistik auf einer Kurve, die bei null beginnt und nur einen rechten Rand hat. Die meisten Rechner geben dir die Zahl; diese Seite schattiert die Fläche, für die die Zahl steht, denn einen p-Wert, den du sehen kannst, kannst du auch erklären.
Die Wahl der Seiten ist der Teil, an dem Studierende Punkte verlieren. Ein zweiseitiger Test fragt, ob die Statistik in irgendeine Richtung extrem ist, also wird die Fläche auf beiden Seiten genommen und, aus Symmetrie, verdoppelt. Ein einseitiger Test fragt nur nach einer Richtung. Der Chi-Quadrat-Test ist immer rechtsseitig, denn eine große Statistik bedeutet eine schlechte Anpassung und eine kleine eine gute, in jeder Richtung. Setze die Seiten passend zu der Hypothese, die du tatsächlich aufgeschrieben hast, bevor du die Daten angeschaut hast.
Neben dem p-Wert listet die Seite den kritischen Wert bei 0,10, 0,05, 0,01 und 0,001, sodass du die Entscheidung auch auf die ältere Art treffen kannst, durch Vergleich der Statistik mit einem Tabelleneintrag. Beide Wege stimmen immer überein: p liegt genau dann unter Alpha, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt. Beides auf einmal zu sehen macht die Äquivalenz offensichtlich. Die weit außen liegenden Ränder werden direkt berechnet statt als eins minus eine gerundete Zahl, sodass ein p-Wert von eins zu hundert Millionen als das gedruckt wird, was er ist, statt auf null zu kollabieren.
Was du über p-Werte wissen solltest
- Ein p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese wahr ist, und nicht die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis Zufall war. Er ist die Wahrscheinlichkeit von so extremen Daten, berechnet unter Annahme der Nullhypothese.
- Signifikanz ist eine Schwelle, die du vorab gewählt hast. Dasselbe p von 0,03 ist signifikant bei 0,05 und nicht bei 0,01; die Zahl hat sich nicht geändert, dein Maßstab schon.
- Zwei Seiten kosten doppelt. Ein z von 1,96 gibt p = 0,05 zweiseitig und p = 0,025 einseitig. Eine Seite zu wählen, nachdem man das Vorzeichen des Ergebnisses gesehen hat, ist Schummeln.
- Die t-Kurve hat dickere Ränder als die Normalkurve, also gibt dieselbe Statistik bei wenigen Freiheitsgraden ein größeres p. Bei df = 30 liegen beide nah beieinander; bei df = 1000 sind sie auf zwei Nachkommastellen gleich.
- Ein Chi-Quadrat-p-Wert ist immer der rechte Rand. Einen zweiseitigen Chi-Quadrat-Anpassungstest gibt es nicht.
So findest du einen p-Wert aus einer Teststatistik
Statistik bestimmen
Ein z-Wert kommt aus einem Normalmodell oder einem Anteilstest mit großer Stichprobe. Eine t-Statistik kommt aus einem t-Test auf Mittelwerte und bringt Freiheitsgrade mit. Eine Chi-Quadrat-Statistik kommt aus einer Kontingenztafel oder einem Anpassungstest und bringt ebenfalls Freiheitsgrade mit.
Seiten aus der Hypothese ableiten
"Verschieden von" ist zweiseitig. "Größer als" ist rechtsseitig, "kleiner als" linksseitig. Chi-Quadrat ist von Natur aus rechtsseitig.
Fläche jenseits der Statistik finden
Diese Fläche, auf der richtigen Kurve, ist der p-Wert. Für einen zweiseitigen Test nimm die Fläche jenseits des Betrags auf einer Seite und verdopple sie.
Mit Alpha oder mit dem kritischen Wert vergleichen
p unter Alpha heißt signifikant. Gleichbedeutend: die Statistik jenseits des kritischen Werts bei diesem Alpha heißt signifikant. Beides wird gezeigt; sie widersprechen sich nie.
Kritische Werte auf einen Blick
Die Statistik, die ein zweiseitiger Test (oder ein rechtsseitiger Chi-Quadrat-Test) erreichen muss, um signifikant zu sein.
| Test | α = 0,10 | α = 0,05 | α = 0,01 |
|---|---|---|---|
| z, zweiseitig | 1,645 | 1,960 | 2,576 |
| t, df = 10, zweiseitig | 1,812 | 2,228 | 3,169 |
| t, df = 30, zweiseitig | 1,697 | 2,042 | 2,750 |
| Chi-Quadrat, df = 1 | 2,706 | 3,841 | 6,635 |
| Chi-Quadrat, df = 4 | 7,779 | 9,488 | 13,277 |
Durchgerechnete Beispiele
t = 2,5 mit 12 Freiheitsgraden
plain
t = 2.5, df = 12Auf der t-Kurve mit 12 Freiheitsgraden liegt das zweiseitige p bei etwa 0,028. Auf der Normalkurve würde dieselbe 2,5 etwa 0,012 ergeben; die dickeren Ränder der t-Kurve machen dieselbe Statistik bei kleiner Stichprobe weniger beeindruckend.
Chi-Quadrat = 7,8 mit 3 Freiheitsgraden
plain
χ² = 7.8, df = 3Der rechte Rand jenseits von 7,8 hat eine Fläche von etwa 0,050, das Ergebnis liegt also genau an der 5-%-Grenze. Der kritische Wert bei 0,05 für 3 Freiheitsgrade ist 7,815, und 7,8 bleibt knapp darunter, was dieselbe Entscheidung ist, andersherum gelesen.
Fehler mit p-Werten
- Einen p-Wert als Wahrscheinlichkeit lesen, dass die Nullhypothese wahr ist. Er ist die Wahrscheinlichkeit der Daten gegeben die Nullhypothese, und das ist eine andere Bedingung.
- Die Seiten wählen, nachdem man das Ergebnis gesehen hat. Wenn die Hypothese "verschieden" sagte, ist der Test zweiseitig, auch wenn das Ergebnis in die erhoffte Richtung ging.
- Die Normalkurve für eine t-Statistik mit kleiner Stichprobe verwenden. Unter etwa 30 Freiheitsgraden zählt der Unterschied, und er macht das echte p immer größer.
- p = 0,049 und p = 0,051 wie zwei verschiedene Welten behandeln. Sie sind dieselbe Evidenz; nur die Schwelle trennt sie.
- p = 0,000 berichten. Ein p-Wert ist nie null. Berichte p < 0,001 oder die tatsächliche winzige Zahl, die diese Seite druckt.
- Die Freiheitsgrade vergessen. Eine t- oder Chi-Quadrat-Statistik ohne ihre df hat überhaupt keinen p-Wert.
FAQ zum p-Wert
Wie berechne ich einen p-Wert aus einem z-Wert?
Finde die Fläche unter der Standardnormalkurve jenseits des z-Werts. Für einen rechtsseitigen Test ist das die Fläche rechts von z; für einen zweiseitigen Test nimm die Fläche jenseits des Betrags von z und verdopple sie. Ein z von 2,0 gibt ein einseitiges p von 0,0228 und ein zweiseitiges p von 0,0455. Gib das z oben ein, und die Seite schattiert die Fläche, die sie meldet.
Was ist der Unterschied zwischen einem einseitigen und einem zweiseitigen p-Wert?
Ein zweiseitiger p-Wert zählt extreme Ergebnisse in beiden Richtungen, ist bei einer symmetrischen Kurve also das Doppelte des einseitigen Werts. Nimm zwei Seiten, wenn die Hypothese "verschieden von" lautet, eine Seite, wenn sie "größer als" oder "kleiner als" lautet und diese Richtung feststand, bevor die Daten gesehen wurden.
Ist p = 0,05 signifikant?
Auf dem 5-%-Niveau muss ein p-Wert unter 0,05 liegen, also sitzt genau 0,05 auf der Grenze, und die meisten Konventionen nennen es nicht signifikant. In der Praxis ist der Unterschied zwischen 0,049 und 0,051 überhaupt keine Evidenz; berichte die Zahl selbst und lass den Leser sehen, wie knapp es ist.
Wie bekomme ich einen p-Wert aus einer t-Statistik?
Du brauchst neben t die Freiheitsgrade. Der p-Wert ist die Fläche unter der t-Kurve mit so vielen Freiheitsgraden jenseits der Statistik, verdoppelt für einen zweiseitigen Test. Bei einem Einstichproben- oder gepaarten Test sind die Freiheitsgrade n minus 1; bei einem gepoolten Zweistichprobentest sind sie n1 plus n2 minus 2.
Warum ist der Chi-Quadrat-Test immer rechtsseitig?
Weil die Chi-Quadrat-Statistik den Gesamtabstand zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten misst, und ein Abstand ist nie negativ. Eine große Statistik heißt, die beobachteten Häufigkeiten liegen weit von dem, was die Nullhypothese vorhersagt; eine kleine heißt, sie liegen nah dran. Nur die große Seite ist Evidenz gegen die Nullhypothese, also wird nur der rechte Rand gezählt.
Was bedeutet ein p-Wert von 0,0001?
Dass so extreme Daten etwa einmal in zehntausend Fällen auftauchen würden, wenn die Nullhypothese wahr wäre. Das ist starke Evidenz gegen die Nullhypothese. Über die Größe des Effekts sagt es nichts, dafür ist ein Konfidenzintervall da.
Kann ich einen p-Wert ohne Teststatistik bekommen?
Nicht auf dieser Seite. Du musst bereits einen Test gerechnet haben und seinen z-, t- oder Chi-Quadrat-Wert kennen. Wenn du stattdessen die Rohdaten hast, nimm den t-Test-Rechner für Mittelwerte oder den Chi-Quadrat-Rechner für Häufigkeiten; beide berechnen Statistik und p-Wert zusammen.
