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Löse jede quadratische Gleichung mit allen Schritten und exakten Werten.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Eine quadratische Gleichung ist jede Gleichung, die man als ax² + bx + c = 0 schreiben kann, wobei a nicht null ist. Die Formel x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a löst ausnahmslos jede davon – das ist ungewöhnlich und Wertschätzung wert. Faktorisieren funktioniert nur, wenn die Zahlen freundlich sind; quadratische Ergänzung funktioniert immer, verlangt aber Übung; die Formel funktioniert immer und verlangt nur Sorgfalt.
Die eigentliche Arbeit steckt unter der Wurzel. b² - 4ac heißt Diskriminante, und ihr Vorzeichen entscheidet über die Form der Antwort, bevor irgendetwas anderes gerechnet wird: positiv heißt zwei Lösungen, null heißt eine doppelte Lösung, negativ heißt keine reelle Lösung. Erst auf die Diskriminante zu schauen sagt dir, welche Art Antwort du erwarten kannst – und das ist der schnellste Weg, später einen Rechenfehler zu erkennen.
Die Formel ist kein einzelner Zug, und das ist das häufigste Missverständnis über sie. Sie ist ein kurzes Verfahren: einsetzen, Diskriminante auswerten, Wurzel ziehen, das ± aufteilen, dann jeden Zweig vereinfachen. Dieser Rechner geht alle fünf durch, damit du siehst, welchen du falsch gemacht hättest.
Tippe a, b und c in die Felder. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche wie 1/2 funktionieren. Ein fehlender Term bedeutet Koeffizient null: bei x² - 4 = 0 ist b gleich 0.
Tippe etwas wie 2x^2 - 5x + 2 = 0 in das Gleichungsfeld und klicke Einlesen. Terme von beiden Seiten werden automatisch links zusammengefasst, 3x^2 = 2x + 1 funktioniert also auch.
Der vierte Schritt gibt dir b² - 4ac. Merke dir das Vorzeichen und sage die Form der Antwort voraus – zwei Lösungen, eine oder keine – bevor du weiterscrollst.
Wenn deine Antwort abwich, ist die nützliche Frage nicht, welche Zahl stimmt, sondern bei welchem Schritt die Wege auseinandergingen. Finde diese Zeile, und der Fehler erklärt sich selbst.
Die Formel ist kein Axiom. Sie ist das Ergebnis einer einzigen quadratischen Ergänzung an der allgemeinen Gleichung - einmal durchgeführt, damit es niemand mit eigenen Zahlen wiederholen muss. Sie einmal nachzurechnen ist der Unterschied zwischen Auswendigwissen und Verstehen.
a x^2 + b x + c = 0
a darf nicht null sein: ohne x²-Term gibt es nichts Quadratisches zu lösen, und das 2a im Nenner wäre ebenfalls null.
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
Die quadratische Ergänzung braucht ein x² ohne Vorfaktor, also muss das a nach vorn heraus. Dieser Schritt setzt a zugleich in den Nenner, wo es bis zum Schluss bleibt.
x^2 + (b/a) x = -c/a
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
Die Hälfte von b/a ist b/2a, ihr Quadrat b²/4a². Um diesen Schritt dreht sich die ganze Herleitung: genau das fehlte der linken Seite zum vollständigen Quadrat.
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
Da steht die Diskriminante, b² - 4ac, ganz von selbst - noch bevor ihr jemand einen Namen gegeben hat.
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
Beide Vorzeichen, denn beide ergeben quadriert dasselbe. Das 2a kommt aus √(4a²) als |2a| heraus, und das vorangestellte ± nimmt das Vorzeichen ohnehin auf.
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
In diesen sieben Zeilen kam kein bestimmtes a, b oder c vor - deshalb gilt das Ergebnis für jede quadratische Gleichung. Und deshalb entscheidet die Diskriminante über die Gestalt der Lösung: sie ist die Zahl unter der Wurzel, und ist sie negativ, hat Schritt sechs keinen Ausweg.
Der Wert von b² - 4ac entscheidet alles über die Form der Antwort, bevor eine einzige Wurzel gezogen wird.
| Diskriminante | Reelle Lösungen | Der Graph | Beispiel |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | Zwei verschiedene reelle Lösungen | Schneidet die x-Achse zweimal | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | Eine doppelte Lösung | Berührt die x-Achse einmal | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | Keine reelle Lösung | Erreicht die x-Achse nie | x² + 2x + 5 = 0 |
| Eine Quadratzahl | Zwei rationale Lösungen | Schneidet bei zwei Brüchen oder ganzen Zahlen | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| Positiv, keine Quadratzahl | Zwei irrationale Lösungen | Schneidet bei zwei Wurzeln | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
a = 1, b = -5, c = 6Die Diskriminante ist (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Ihre Wurzel ist genau 1, also sind die Lösungen (5 + 1)/2 = 3 und (5 - 1)/2 = 2. Weil die Diskriminante eine Quadratzahl ist, sind beide Lösungen rational und die Gleichung faktorisiert auch als (x - 3)(x - 2) = 0. Das ist der Fall, in dem Faktorisieren schneller gewesen wäre.
a = 2, b = -5, c = 2Die Diskriminante ist 25 - 16 = 9, also √9 = 3 und die Lösungen sind (5 + 3)/4 = 2 und (5 - 3)/4 = 1/2. Beachte, dass die zweite Lösung 1/2 bleibt und nie als 0,5 angezeigt wird: Ein Bruch ist der exakte Wert, und die Dezimalzahl ist eine Näherung davon, die zufällig kurz ist.
a = 1, b = -4, c = 1Die Diskriminante ist 16 - 4 = 12 und keine Quadratzahl. √12 vereinfacht sich zu 2√3, also sind die Lösungen (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. Hier fangen die meisten Rechner an, 3,7320508 auszugeben, und hören auf nützlich zu sein: 2 + √3 ist die Antwort, und jede Dezimalzahl ist eine Rundung davon.
a = 1, b = 2, c = 5Die Diskriminante ist 4 - 20 = -16. Keine reelle Zahl ergibt quadriert etwas Negatives, also hat die Gleichung keine reelle Lösung und der Rechenweg endet dort. Die Parabel liegt vollständig über der x-Achse. Wenn dein Kurs komplexe Zahlen erreicht hat, sind die Lösungen -1 ± 2i – ob das als Antwort zählt, hängt davon ab, in welchem Zahlensystem du zu arbeiten gelernt hast.
