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Jede Dezimalzahl als exakter, vollständig gekürzter Bruch - auch periodische.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Eine Dezimalzahl ist ein Bruch in einer bestimmten Schreibweise. 0,375 heißt dreihundertfünfundsiebzig Tausendstel, also 375/1000, und das kürzt sich zu 3/8. Das ist die ganze Methode für eine endliche Dezimalzahl: die Ziffern über die passende Zehnerpotenz schreiben und dann Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividieren.
Eine periodische Dezimalzahl braucht etwas Raffinierteres - und das ist genau der Teil, den fast kein Rechner zeigt. 0,1666… lässt sich nicht über eine Zehnerpotenz schreiben, weil die Ziffern nie aufhören. Stattdessen baut man zwei Kopien der Zahl, so verschoben, dass ihre endlosen Schwänze übereinanderliegen, und subtrahiert: die Schwänze heben sich exakt auf, und übrig bleibt eine gewöhnliche ganze Zahl, durch die man teilen kann.
Alles hier ist exakt. Nichts wird in Gleitkomma gerechnet, 0,1 ist also ein Zehntel und nicht die 0,1000000000000000055, die ein Computer damit üblicherweise meint, und ein Bruch wie 1/7 kommt als 1/7 zurück statt als etwas, das sich darauf rundet.
Schreibe die Ziffern nach dem Komma als ganze Zahl und setze sie über eine 1 mit ebenso vielen Nullen. 0,375 hat drei Stellen, also beginnt es als 375/1000.
Suche die größte Zahl, die Zähler und Nenner zugleich teilt. Für 375 und 1000 ist das 125.
375 ÷ 125 = 3 und 1000 ÷ 125 = 8, also 0,375 = 3/8. Ist der größte gemeinsame Teiler 1, war der Bruch schon vollständig gekürzt.
Mit einer Zehnerpotenz multiplizieren, damit der periodische Block vor das Komma rutscht, das Original (nötigenfalls verschoben) abziehen - die endlosen Schwänze heben sich auf. Tippe 0.1(6), und diese Seite schreibt jede Zeile aus.
Die Umrechnungen, die man auswendig können sollte. Alles andere macht der Rechner oben exakt.
| Dezimalzahl | Bruch | Prozent |
|---|---|---|
| 0,1 | 1/10 | 10 % |
| 0,125 | 1/8 | 12,5 % |
| 0,2 | 1/5 | 20 % |
| 0,25 | 1/4 | 25 % |
| 0,333… (0,(3)) | 1/3 | 33⅓ % |
| 0,375 | 3/8 | 37,5 % |
| 0,5 | 1/2 | 50 % |
| 0,625 | 5/8 | 62,5 % |
| 0,666… (0,(6)) | 2/3 | 66⅔ % |
| 0,75 | 3/4 | 75 % |
| 0,875 | 7/8 | 87,5 % |
| 0,1666… (0,1(6)) | 1/6 | 16⅔ % |
0.375Drei Nachkommastellen, also beginnt man mit 375/1000. Der größte gemeinsame Teiler von 375 und 1000 ist 125, und beides dadurch geteilt ergibt 3/8. Zwei Zeilen, und die zweite ist die einzige Stelle, an der sich ein Fehler verstecken kann: einen zu kleinen Teiler zu nehmen lässt 15/40 übrig - richtig, aber nicht vollständig gekürzt, und das kostet meist Punkte.
0.(3)Sei x = 0,333…. Mal 10 ergibt 10x = 3,333…. Die beiden Schwänze sind identisch, also bleibt beim Subtrahieren exakt 9x = 3 - nirgends eine Näherung - und x = 3/9 = 1/3. Die Neun im Nenner ist kein Zufall: eine periodische Ziffer ergibt immer Neuntel.
0.1(6)Hier wiederholt sich die 1 nicht, die 6 schon, also braucht es zwei Verschiebungen. 100x = 16,666… und 10x = 1,666…, und die Differenz ergibt 90x = 15, also x = 15/90 = 1/6. Die 90 ist 9 (eine periodische Ziffer) mal 10 (eine feste Ziffer) - daher stammt jeder Nenner dieser Art.
2.5Die Methode ändert sich nicht: 25/10, durch 5 kürzen, und man hat 5/2. Weil der Zähler größer ist als der Nenner, ist das ein unechter Bruch, und der Rechner gibt zusätzlich die gemischte Zahl 2½ an. Welche Form deine Antwort haben soll, hängt von der Aufgabe ab: mit unechten Brüchen rechnet es sich leichter, gemischte Zahlen kann man sich besser vorstellen.
