Potenzgesetze
Fünf Regeln, die jede und jeder auf eine Karte schreibt - und die Hälfte wendet sie danach falsch an. Als wiederholte Multiplikation ausgeschrieben muss man sich keine davon merken.
Zuletzt aktualisiert
Alle schreiben sich die Potenzgesetze auf eine Karte, und ein Halbjahr später wird die Hälfte davon auf das Falsche angewendet. Das ist kein Gedächtnisproblem. Eine bloß auswendig gelernte Regel gibt dir keine Möglichkeit zu prüfen, ob sie überhaupt gilt - also wird sie überall benutzt, wo sie oberflächlich passt.
Die Abhilfe: hör auf, sie als Regeln zu behandeln. Wähl unten eine aus und lies die mittlere Zeile.
Die mittlere Zeile ist der Beweis. Jede dieser Regeln ist offensichtlich, sobald die Potenzen als wiederholte Multiplikation ausgeschrieben sind - du musst dich also nie auf dein Gedächtnis verlassen.
Jede Regel ist ein Abzählargument
a^3 ist eine Abkürzung. In Wahrheit steht dort a · a · a - drei Kopien von a, miteinander multipliziert. Sobald beide Seiten einer Regel so ausgeschrieben sind, ist die Regel keine Behauptung mehr, sondern eine Abzählung.
Multiplizieren: zwei Kopien neben drei Kopien sind fünf Kopien.
a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5
Du hast die Exponenten nicht addiert, weil eine Regel es sagte, sondern weil du gezählt hast, wie viele a in der Zeile gelandet sind.
Dividieren: fünf Kopien über zwei Kopien, und zwei kürzen sich weg.
a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3
Potenz einer Potenz: drei Kopien von „zwei Kopien" sind sechs Kopien.
(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6
Drei Regeln, ein Argument. Dass „addieren" und „multiplizieren" verwechselt werden, liegt daran, dass man die Verben statt der Abzählung gelernt hat.
Null und negative Exponenten sind erzwungen, nicht gewählt
Diese beiden wirken wie willkürliche Festlegungen. Sind sie nicht.
Nimm a3/a3. Etwas durch sich selbst ist 1. Aber die Quotientenregel sagt, es sei a^(3-3) = a^0. Beide beschreiben dieselbe Division, also ist a^0 = 1 der einzige Wert, der die Regeln widerspruchsfrei hält.
Geh weiter nach unten. Jeder Schritt abwärts teilt einmal mehr durch a:
| Potenz | Wert für a = 2 |
|---|---|
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
| 2⁻¹ | 1/2 |
| 2⁻² | 1/4 |
Bei null ändert nichts die Richtung - das Halbieren läuft einfach weiter. Genau das ist ein negativer Exponent: a^-n = 1/a^n. Er ist insbesondere keine negative Zahl. 2^-3 ist 1/8 und damit positiv.
Die drei Fehler, die einen Namen verdienen
Verschiedene Basen lassen sich nicht zusammenfassen. 2^3 · 3^4 bleibt, wie es ist. Die Regeln zählen Kopien derselben Sache, und hier werden zwei verschiedene gezählt.
Terme addieren ist nicht dasselbe wie multiplizieren. x^2 + x^3 ist nicht x^5. Schreib es aus: zwei Kopien plus drei Kopien sind keine fünf Kopien, sondern die Summe zweier verschiedener Größen. Nichts kürzt sich, nichts fasst sich zusammen.
Potenzen verteilen sich auf Produkte, nicht auf Summen. (ab)^2 = a2b2 stimmt - zwei Kopien von ab sind zwei a und zwei b. Aber (a+b)^2 ist nicht a^2 + b^2; es wird zu a^2 + 2ab + b^2, und der mittlere Term ist genau das, was das Distributivgesetz vorhersagt.
Probier eins
Wenn du zum Taschenrechner gegriffen hast, mach es noch einmal durch Kürzen: vier Kopien von 3 über zwei Kopien von 3 lassen zwei Kopien übrig, und zwei Kopien von 3 sind 9. Das ist die Version, die auch dann noch funktioniert, wenn die Basis x statt 3 heißt.
Wohin das führt
Die Potenzgesetze lassen das Rechnen in Zehnerpotenzen funktionieren, machen aus einer Wurzel eine gebrochene Potenz und erlauben es dem Logarithmus, eine Multiplikation in eine Addition zu verwandeln. Alle drei sind dieselben fünf Regeln, nur in anderer Richtung gelesen - ein guter Grund, sie über das Argument statt über das Gedächtnis zu haben.
Häufige Fragen
- Welche Potenzgesetze gibt es?
- Fünf tragen fast alles: Beim Multiplizieren von Potenzen gleicher Basis werden die Exponenten addiert, beim Dividieren subtrahiert, beim Potenzieren einer Potenz multipliziert, alles hoch 0 ist 1, und ein negativer Exponent bedeutet eins durch die positive Potenz. Alle fünf folgen daraus, die Potenzen als wiederholte Multiplikation auszuschreiben.
- Warum ist alles hoch null gleich 1?
- Wegen der Quotientenregel. Jede Zahl durch sich selbst ist 1, und die Quotientenregel sagt, dieselbe Division sei die Basis hoch Exponent minus sich selbst, also 0. Beide Aussagen beschreiben dieselbe Division, also muss a hoch 0 gleich 1 sein. Das ist erzwungen, nicht verordnet - die einzige Ausnahme ist 0 hoch 0, das undefiniert bleibt.
- Was bedeutet ein negativer Exponent?
- Einen Kehrwert, keine negative Zahl. 2 hoch -3 ist 1/8, also positiv. Mit fallendem Exponenten wird immer wieder durch die Basis geteilt - 8, 4, 2, 1 - und über 1 hinaus kommen 1/2, 1/4, 1/8. Ein negativer Exponent sagt, wie oft geteilt statt multipliziert wird.
- Wann darf ich Exponenten addieren und wann nicht?
- Nur wenn die Basen identisch sind und multipliziert wird. 2 hoch 3 mal 2 hoch 4 ist 2 hoch 7, aber 2 hoch 3 mal 3 hoch 4 lässt sich gar nicht zusammenfassen - sie zählen Verschiedenes. Exponenten beim Addieren von Termen zu addieren ist hier der häufigste Fehler: x hoch 2 plus x hoch 3 ist nicht x hoch 5.
- Ist (a + b) zum Quadrat gleich a zum Quadrat plus b zum Quadrat?
- Nein, und dieser Fehler verdient einen Namen. Quadrieren verteilt sich auf Produkte, nicht auf Summen. (ab) zum Quadrat ist tatsächlich a zum Quadrat mal b zum Quadrat, aber (a + b) zum Quadrat ergibt a zum Quadrat plus 2ab plus b zum Quadrat. Der fehlende mittlere Term ist genau das, was das Rechteckmodell sichtbar macht.
Jetzt mach es selbst, richtig
Den Rechenweg von jemand anderem zu lesen ist nicht dasselbe, wie ihn selbst gehen zu können. Der Mathe-Kurs von Coddy setzt dich an ein Board, das jeden deiner Schritte prüft - so merkst du, wo du wirklich stehst.
Mit deinen eigenen Zahlen ausprobieren?
Equation Solver Rechner öffnen