Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist keine Zahl mit einer geheimnisvollen Eigenschaft zum Nachschlagen. Sie ist eine Anzahl, die sich als echtes Quadrat auslegen lässt - und alles andere folgt daraus.
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„Quadratzahl" klingt nach einem Etikett, das jemand einer Liste von Zahlen verpasst hat, die man nun auswendig lernen soll. Ist es nicht. Der Name beschreibt eine Form, und sobald man die Form sieht, muss die Liste gar nicht mehr auswendig gelernt werden.
Bewege den Regler. Achte darauf, was jedes Mal hinzukommt.
Bewege den Regler um einen Schritt. Das schattierte L ist das, was dazugekommen ist - zähl es, und du hast den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen.
Der Name ist wörtlich gemeint
6^2 = 36 heißt nicht „die 6 hat die Quadrier-Operation durchlaufen". Es heißt: Nimm 36 Kästchen, und du kannst sie als Quadrat mit 6 pro Seite auslegen. Nimm 35, und es geht nicht - es bleibt immer ein Loch oder ein Überstand. Das ist die ganze Definition, und deshalb heißt es „Quadrat" und nicht irgendetwas Abstraktes.
Lies dasselbe Bild rückwärts, und du hast die Quadratwurzeln. sqrt(36) = 6 ist die Frage: „Wenn 36 Kästchen ein Quadrat bilden, wie lang ist dessen Seite?" Eine Zahl hat genau dann eine ganzzahlige Quadratwurzel, wenn sie eine Quadratzahl ist - weshalb beide Ideen immer zusammen unterrichtet werden.
Die Liste, die sich lohnt
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Zwanzig Einträge decken praktisch jede Schulaufgabe ab, denn Aufgaben werden von der Antwort her gebaut - von einer, die man nachrechnen kann.
Die Abstände sind die ungeraden Zahlen
Dafür ist der Regler eigentlich da. Schieb ihn von 5 auf 6 und zähl das schattierte L, das erscheint: fünf Kästchen an der neuen Seite, fünf oben und eins in der Ecke. Elf.
Allgemein kommen beim Schritt von n^2 zu (n+1)^2 2n+1 Kästchen dazu - immer ungerade. Die Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Quadratzahlen lauten also 3, 5, 7, 9, 11, 13 …, und die ungeraden Zahlen der Reihe nach addiert ergeben die Quadratzahlen der Reihe nach:
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Das ist auch ein wirklich schneller Weg, die Tabelle im Kopf zu verlängern. Wenn du 14^2 = 196 weißt und 15^2 willst, addiere 2*14 + 1 = 29: 225.
Eine ohne Taschenrechner erkennen
Zwei Filter bringen dich fast ans Ziel.
Sieh dir die letzte Ziffer an. Quadriere irgendeine Zahl, und das Ergebnis endet auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 - nie auf 2, 3, 7 oder 8. Also ist 4398 keine Quadratzahl, ganz ohne Rechnen. Das ist kein Zufall: Die letzte Ziffer eines Produkts hängt nur von den letzten Ziffern der Faktoren ab, und das Quadrieren von 0 bis 9 erzeugt nur diese sechs Endungen.
Dann grenze ein. 200 liegt zwischen 14^2 = 196 und 15^2 = 225 - es bleibt keine ganze Zahl übrig, deren Quadrat es sein könnte. Jede Zahl echt zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist keine.
Warum sie ständig auftauchen
Quadratzahlen sind der Grund, warum manche quadratischen Ausdrücke sauber zerfallen und andere nicht. x^2 - 49 lässt sich als Differenz zweier Quadrate zerlegen, weil 49 eine ist; x^2 - 50 nicht. Sie sind auch der Grund, warum sich eine Wurzel vereinfacht: sqrt(75) wird zu 5sqrt(3), genau weil 25 als Quadratzahl in 75 steckt.
Probier eins
Und eines in die andere Richtung - eine Gleichung statt eines Nachschlagens. Beachte, dass sie zwei Antworten hat; genau das geht bei Wurzeln am häufigsten schief:
Sowohl 7 als auch -7 ergeben quadriert 49, also sind beide Lösungen. Das Zeichen sqrt(49) meint nur die positive - das ist eine Konvention über das Zeichen, keine Aussage über die Gleichung.
Häufige Fragen
- Was ist eine Quadratzahl?
- Eine ganze Zahl, die entsteht, wenn man eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert. 9 ist eine Quadratzahl, weil 3 mal 3 gleich 9 ist; 10 ist keine, weil keine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert 10 ergibt. Der Name ist wörtlich gemeint: genau so viele Kästchen lassen sich zu einem Quadrat legen.
- Welche Quadratzahlen gibt es von 1 bis 100?
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100 - die Quadrate von 1 bis 10. Über 100 hinaus folgen 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 und 400, womit man bei 20 zum Quadrat ist und fast alles abdeckt, was in der Schule verlangt wird.
- Wie erkenne ich, ob eine Zahl eine Quadratzahl ist?
- Zwei schnelle Filter, dann eine Prüfung. Eine Quadratzahl endet nie auf 2, 3, 7 oder 8 - solche Zahlen fallen sofort weg. Übersteht sie das, such die nächste bekannte Quadratzahl: 200 liegt zwischen 196 und 225, ist also keine. Erst wenn beides passt, musst du die Wurzel ziehen.
- Warum sind die Abstände zwischen Quadratzahlen die ungeraden Zahlen?
- Weil der Weg von einem Quadrat mit Seite n zu einem mit Seite n+1 bedeutet, einen Streifen an die Seite, einen nach oben und ein Eckkästchen zu ergänzen: n + n + 1, immer ungerade. Deshalb lauten die Differenzen 3, 5, 7, 9 …, und wer die ungeraden Zahlen der Reihe nach addiert, erhält die Quadratzahlen der Reihe nach.
- Ist 0 eine Quadratzahl?
- Ja. 0 mal 0 ist 0, das passt genau auf die Definition. Manche Schullisten beginnen bei 1, weil ein Quadrat ohne Seitenlänge schwer vorstellbar ist, aber nichts in der Definition schließt es aus - und 0 als Quadratzahl zu führen hält die spätere Algebra sauber.
Jetzt mach es selbst, richtig
Den Rechenweg von jemand anderem zu lesen ist nicht dasselbe, wie ihn selbst gehen zu können. Der Mathe-Kurs von Coddy setzt dich an ein Board, das jeden deiner Schritte prüft - so merkst du, wo du wirklich stehst.
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