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Ein einziges Kreismaß gibt alle anderen, mit π als π.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Ein Kreis hat nur einen Freiheitsgrad, jede einzelne Angabe legt also alle anderen fest. Aus dem Radius r: der Durchmesser ist 2r, der Umfang 2πr und die Fläche πr². Diese drei Formeln sind das ganze Thema, und das Einzige, was klar bleiben muss: der Umfang nutzt den Radius einmal, die Fläche zweimal - quadriert, nicht verdoppelt.
π ist das, was einen Kreis zum Kreis macht: das Verhältnis jedes Umfangs zu seinem eigenen Durchmesser, dieselbe Zahl für jeden je gezeichneten Kreis. Sie ist irrational, hat also keine exakte Dezimaldarstellung - genau deshalb behält diese Seite sie als Buchstaben π. Ein Umfang von 6π ist eine exakte Antwort; 18,85 ist eine Rundung, und beide sind nicht austauschbar, wenn eine Aufgabe eine davon verlangt.
Diese Exaktheit funktioniert auch rückwärts. Gib einen Umfang von 10 ein und der Radius ist 5/π - weiterhin exakt, weiterhin eine reelle Zahl - und die Fläche kommt als 25/π heraus. Jeder Konkurrenzrechner multipliziert im ersten Schritt mit 3,14159 und kann deshalb niemals die Antwort liefern, die eine Schulaufgabe will.
Radius, Durchmesser oder Umfang. In einer Textaufgabe werden sie leicht verwechselt, und einen Durchmesser dort einzusetzen, wo die Formel den Radius will, verdoppelt die Antwort.
r = d/2. Das zuerst zu tun heißt, nur eine Formel zu brauchen statt sich zwei zu merken.
C = 2πr. Lass π vorerst ein Buchstabe - 2π · 3 ist 6π, und das ist eine fertige exakte Antwort.
Will die Aufgabe eine Zahl, multipliziere ganz am Ende mit 3,14159… Früh zu runden kostet Genauigkeit, die der Rest der Aufgabe noch braucht.
Aus einem Umfang r = C/(2π). Das π bleibt im Nenner, was exakt ist; hier durch 3,14 zu teilen ist die Stelle, an der Genauigkeit üblicherweise verschenkt wird.
Dieselben vier Maße für gängige Radien. Die exakte Spalte ist die Antwort; die Dezimalzahl ist eine Rundung davon.
| Radius | Durchmesser | Umfang | Fläche | C als Dezimalzahl |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2π | π | 6.2832 |
| 2 | 4 | 4π | 4π | 12.5664 |
| 3 | 6 | 6π | 9π | 18.8496 |
| 5 | 10 | 10π | 25π | 31.4159 |
| 7 | 14 | 14π | 49π | 43.9823 |
| 10 | 20 | 20π | 100π | 62.8319 |
| 1/2 | 1 | π | π/4 | 3.1416 |
| 2.5 | 5 | 5π | 6.25π | 15.708 |
r = 3C = 2π · 3 = 6π genau, etwa 18,8496. Die Fläche ist π · 3² = 9π, etwa 28,27. Beachte, dass der Radius für die Fläche quadriert wird und für den Umfang nicht - dieser einzige Unterschied ist der Großteil dessen, was bei diesem Thema schiefgeht.
d = 10Erst halbieren: r = 5. Dann C = 2π · 5 = 10π und A = π · 5² = 25π. Den Durchmesser direkt in C = 2πr zu setzen hätte 20π ergeben - genau doppelt so viel, und der häufigste Fehler hier.
C = 10r = 10/(2π) = 5/π, exakt und etwa 1,5915. Die Fläche ist dann π · (5/π)² = 25/π, etwa 7,96. π im Nenner zu behalten macht das exakt; 10 zuerst durch 6,28 zu teilen hätte gerundet, bevor die Fläche überhaupt begonnen war.
r = 1/2C = 2π · 1/2 = π genau - ein Kreis mit Radius ein halb hat einen Umfang von genau π. Seine Fläche ist π/4. Brüche bleiben Brüche, unterwegs geht nichts verloren.
r = 36π ist eine einzige exakte Zahl. 18,8496 ist eine Dezimalzahl, die bis zur vierten Stelle übereinstimmt und dann für immer abweicht, denn π ist irrational. Steht in der Aufgabe «gib die Antwort in Vielfachen von π an», ist 6π die Antwort und 18,85 falsch.
