Äquivalente Brüche
Zwei Brüche ohne eine gemeinsame Ziffer können dieselbe Menge sein. Das klingt nach einem Trick, bis man es einmal als Länge gesehen hat; danach überrascht es nicht mehr.
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Frag jemanden, ob 2/3 und 8/12 dieselbe Zahl sind, und meist kommt ein Zögern. Nichts sieht gleich aus: nicht der Zähler, nicht der Nenner, nicht die Größe der Ziffern. Und doch sind es genau dieselbe Menge, ohne dass etwas gerundet wäre.
Der Grund lässt sich leichter sehen als sagen - hier ist er als Länge.
Die gestrichelte Linie bewegt sich nie. Dieselbe Länge in mehr Stücke zu schneiden ändert beide Zahlen und nichts daran, wie viel gefärbt ist.
Was sich nicht ändert, ist die gefärbte Länge
Der obere Balken ist in 3 Stücke geschnitten, 2 davon gefärbt. Der untere ist derselbe Balken, in 6 geschnitten, mit 4 gefärbten. Dreh den Faktor hoch und der untere Balken wird in 9, dann 12, dann 15 Stücke geschnitten - und die gestrichelte Linie bewegt sich nie.
Diese Linie ist die ganze Idee. Ein Bruch ist eine Länge, und die beiden Zahlen sind nur eine Beschreibung, wie du sie zerschnitten hast. Der Nenner sagt, in wie viele Stücke das Ganze geschnitten wurde; der Zähler, wie viele du genommen hast. Schneide jedes Stück in zwei Hälften und du hast doppelt so viele Stücke, jedes halb so groß, und hast doppelt so viele genommen. Zwei Änderungen, die sich aufheben.
Also 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12, und die Liste endet nicht: jeder Bruch hat unendlich viele äquivalente Formen.
Einen erzeugen: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren
Um einen Bruch anders zu schreiben, multipliziere beide Teile mit derselben Zahl:
2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12
Die Zahl wählst du, und in echten Aufgaben wird sie aus einem Grund gewählt - meist, weil du einen bestimmten Nenner brauchst. Braucht eine Aufgabe Drittel über 12, ist der Faktor 4, denn 3*4 = 12.
Die eine Regel, die zählt: beide Teile, oder keinen. Nur den Zähler zu multiplizieren gibt 8/3, viermal zu groß. Bewege den oberen Regler in der Abbildung und sieh die gestrichelte Linie springen - genau das tut eine einzeln geänderte Zahl.
Dividieren funktioniert genauso, nur umgekehrt. 8/12, oben und unten durch 4 geteilt, ist 2/3, und wieder hat sich nichts bewegt.
Rückwärts gelesen: kürzen
Die Liste hinunter statt hinauf zu gehen heißt kürzen, und das ist die Form, in der fast jede Antwort erwartet wird. Teile Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler:
| Bruch | gemeinsamer Teiler | gekürzt |
|---|---|---|
| 8/12 | 4 | 2/3 |
| 15/25 | 5 | 3/5 |
| 6/9 | 3 | 2/3 |
| 14/21 | 7 | 2/3 |
| 9/12 | 3 | 3/4 |
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn die einzige ganze Zahl, die beide Teile teilt, 1 ist. Beachte, dass drei unterschiedlich aussehende Brüche in dieser Tabelle auf 2/3 zurückgehen - genau darum geht es: sie waren von Anfang an dieselbe Menge, nur mit anderen Schnitten geschrieben.
Ist der gemeinsame Teiler nicht offensichtlich, kannst du ihn in Etappen herausziehen. 24/36 ist gerade, also halbiere zu 12/18; noch einmal zu 6/9; dann durch 3 zu 2/3. In drei einfachen Schritten anzukommen ist nicht schlechter als in einem klugen.
Wozu sie überhaupt da sind
Äquivalente Brüche sind kein eigenes Thema. Sie existieren, weil das Addieren von Brüchen ohne sie unmöglich ist.
1/2 + 1/3 lässt sich nicht zählen, weil eine Hälfte und ein Drittel Stücke verschiedener Größe sind. Schreibe beide über 6 - 1/2 = 3/6 und 1/3 = 2/6 - und jetzt sind es Stücke einer Größe, die sich einfach addieren: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Jeder Schritt auf einen gemeinsamen Nenner, den du je machen wirst, sind zwei hingeschriebene äquivalente Brüche. Deshalb kommt diese Idee zuerst.
Probier eine
Wenn 9/12 herauskam, hast du einmal geteilt und aufgehört: 9 und 12 haben noch den Faktor 3 gemeinsam. Mach weiter, bis die einzige Zahl, die beide teilt, 1 ist.
Häufige Fragen
- Was sind äquivalente Brüche?
- Zwei Brüche sind äquivalent, wenn sie dieselbe Menge beschreiben, obwohl die Zahlen anders aussehen. 2/3 und 8/12 sind äquivalent: schneide einen Balken in 3 Stücke und färbe 2, oder schneide denselben Balken in 12 Stücke und färbe 8 - der gefärbte Teil reicht genau bis zur gleichen Stelle.
- Wie finde ich einen äquivalenten Bruch?
- Multipliziere Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Aus 2/3 wird 4/6 (mal 2), 6/9 (mal 3), 8/12 (mal 4) und so weiter, endlos. Beide Teile mit derselben Zahl zu multiplizieren heißt, jedes Stück in so viele kleinere Stücke zu schneiden: die Anzahl der Stücke ändert sich, die Menge nicht.
- Warum darf ich nicht nur den Zähler multiplizieren?
- Weil der Zähler Stücke zählt und der Nenner sagt, wie groß ein Stück ist. Nur den Zähler zu ändern heißt, mehr Stücke derselben Größe zu nehmen, und das ist wirklich mehr. Die Stückgröße muss gleichzeitig mitverändert werden, und genau das tut die Multiplikation des Nenners mit derselben Zahl.
- Wie kürze ich einen Bruch vollständig?
- Teile Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Bei 8/12 ist das 4, also wird 8/12 zu 2/3. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn die einzige Zahl, die beide Teile teilt, 1 ist - und das ist die Form, in der fast jede Antwort erwartet wird.
- Wozu braucht man äquivalente Brüche?
- Zum Addieren und Subtrahieren. Stücke verschiedener Größe lassen sich nicht zusammen zählen, also kommt 1/2 + 1/3 nicht weiter, bis beide mit demselben Nenner geschrieben sind: 3/6 + 2/6 = 5/6. Jede dieser Umschreibungen ist ein äquivalenter Bruch, und deshalb ruht die gesamte Bruchrechnung auf dieser Idee.
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