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Kleinstes gemeinsames Vielfaches beliebig vieler Zahlen, in drei Verfahren, mit Rechenweg.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Ein Vielfaches einer Zahl ist das, was man erhält, wenn man sie mit einer ganzen Zahl multipliziert: Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, 16 und so weiter ohne Ende. Ein gemeinsames Vielfaches zweier Zahlen steht in beiden Listen. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die in beiden Listen vorkommt – die erste Stelle, an der sich die beiden Zählmuster treffen.
Das kgV von 4 und 6 ist 12, weil 12 die erste Zahl ist, die sowohl Vielfaches von 4 als auch Vielfaches von 6 ist. Mehr sagt die Definition wirklich nicht, und wenn du bei einem Verfahren den Faden verlierst, kannst du immer zum Aufschreiben der beiden Listen zurückkehren.
Sein Geld verdient es beim Addieren von Brüchen. Um 1/4 und 1/6 zu addieren, brauchst du einen gemeinsamen Nenner, und das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 liefert den kleinsten verfügbaren: 12, also 3/12 + 2/12 = 5/12. Jedes gemeinsame Vielfache würde funktionieren; das kleinste lässt dir nur weniger zu kürzen.
Tippe zwei oder mehr ganze Zahlen, getrennt durch Kommas oder Leerzeichen: 12, 18 oder 4 6 8. Bis zu zehn auf einmal.
Das kgV steht oben. Darunter wird dasselbe Ergebnis auf drei Wegen erreicht: Primfaktorzerlegung, Auflisten der Vielfachen und die Abkürzung Produkt durch ggT. Folge dem, das deine Klasse benutzt.
Jede Zeile ist ein Primfaktor, jede Spalte eine Zahl. Die hervorgehobene Zelle in jeder Zeile ist der höchste Exponent, und den nimmt das kgV. Multipliziert man die rechte Spalte, erhält man das Ergebnis.
Wenn ein Verfahren sich wie ein Trick anfühlt, schau auf die Liste der Vielfachen. Die erste Zahl, die in allen Zeilen auftaucht, ist das kgV – direkt aus der Definition.
Die Paare, die in Aufgaben am häufigsten vorkommen, mit dem Grund und nicht nur dem Ergebnis.
| Zahlen | kgV | Warum |
|---|---|---|
| 4 und 6 | 12 | 2² von der 4, 3 von der 6 |
| 12 und 18 | 36 | 2² von der 12, 3² von der 18 |
| 3 und 5 | 15 | Kein gemeinsamer Primfaktor, also ist das kgV einfach 3 × 5 |
| 6 und 8 | 24 | 2³ von der 8, 3 von der 6 |
| 10 und 15 | 30 | 2 von der 10, 3 von der 15, 5 von beiden |
| 8, 9 und 21 | 504 | 2³, 3² und 7 – je ein Primfaktor von jeder |
| 1 bis 10 | 2520 | 2³ · 3² · 5 · 7 |
12, 1812 = 2² · 3 und 18 = 2 · 3². Für jeden Primfaktor nimmt man den höheren Exponenten: 2² von der 12 und 3² von der 18, das ergibt 2² · 3² = 4 · 9 = 36. Die Liste bestätigt es: Die Vielfachen von 12 sind 12, 24, 36 und die von 18 sind 18, 36 – 36 ist also das erste gemeinsame. Die Abkürzung stimmt auch: 12 × 18 = 216, und 216 ÷ 6 = 36.
3, 53 und 5 sind Primzahlen und verschieden, sie haben also keinen gemeinsamen Faktor. In diesem Fall ist das kgV einfach das Produkt: 15. Deshalb ist das kgV zweier Primzahlen – oder zweier teilerfremder Zahlen – nie kleiner als ihr Produkt.
4, 6Das kgV von 4 und 6 ist 12, also ist 12 der kleinste gemeinsame Nenner. Umgeschrieben ergibt das 3/12 + 2/12 = 5/12, was nicht gekürzt werden muss. Mit 24 – ebenfalls ein gemeinsames Vielfaches – hätte man 6/24 + 4/24 = 10/24 erhalten: richtig, aber mit einem zusätzlichen Kürzungsschritt.
8, 9, 218 = 2³, 9 = 3², 21 = 3 · 7. Nimmt man die höchste Potenz jedes Primfaktors über alle drei: 2³ von der 8, 3² von der 9 und 7 von der 21. Das ergibt 8 · 9 · 7 = 504. Beachte, dass die 3 in der 21 nichts beiträgt, weil die 9 bereits eine höhere Potenz von 3 liefert.
