Das Koordinatensystem
Zwei Zahlengeraden im rechten Winkel gekreuzt - und plötzlich hat jedes Zahlenpaar einen Ort. Die zwei Dinge, die schiefgehen, sind die Reihenfolge im Paar und welcher Quadrant welcher ist. Beide übt man besser, als man sie liest.
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Vor dem Koordinatensystem war eine Gerade etwas, das man zeichnete, und ein Kreis etwas, das man ausmaß. Danach sind beide Gleichungen, mit denen man rechnen kann. Das ganze Zeichnen von Schaubildern - und fast alles, was du danach in der Algebra tust - beruht auf einer kleinen Idee: ein Zahlenpaar benennt einen Ort.
Klick irgendwohin in das Gitter. Die gestrichelten Linien zeigen, wie das Paar entsteht.
Klick irgendwohin. Die gestrichelten Linien zeigen, wie das Paar gelesen wird: erst entlang der x-Achse, dann nach oben entlang der y-Achse.
Erst zur Seite, dann nach oben
Jede Achse hat genau eine Aufgabe. Die x-Achse läuft von links nach rechts und misst, wie weit zur Seite; die y-Achse läuft von unten nach oben und misst, wie weit hinauf. Wo sie sich kreuzen, liegt der Ursprung, also (0, 0) - keine Strecke in keine der beiden Richtungen.
Um einen Punkt zu benennen, gibst du zwei Zahlen in fester Reihenfolge an: zur Seite, dann nach oben. (3, 2) heißt also drei nach rechts und zwei nach oben. Am Punkt selbst steht nirgends, welche Zahl welche ist - die Reihenfolge trägt diese Information. Darum heißen sie geordnete Paare, und darum sind (3, 2) und (2, 3) verschiedene Orte.
Wenn du sie immer wieder verwechselst, bleibt oft eine Eselsbrücke hängen: x kommt vor y im Alphabet, also steht x vorn im Paar.
Negative Zahlen kehren nur die Richtung um. Eine negative x-Koordinate heißt nach links statt nach rechts, ein negatives y nach unten statt nach oben. Klick unten links ins Gitter und sieh, wie beide Vorzeichen gemeinsam negativ werden.
Die vier Quadranten
Die zwei Achsen schneiden die Ebene in vier Bereiche, gezählt von oben rechts gegen den Uhrzeigersinn:
| Quadrant | x | y | Beispiel |
|---|---|---|---|
| I | positiv | positiv | (3, 2) |
| II | negativ | positiv | (-4, 1) |
| III | negativ | negativ | (-2, -3) |
| IV | positiv | negativ | (4, -2) |
Die Zählrichtung wirkt merkwürdig, bis du Winkel kennenlernst - die werden ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen. Die beiden Konventionen passen absichtlich zusammen.
Für die Achsen selbst gibt es keinen fünften Bereich. Ein Punkt wie (0, 3) liegt auf der y-Achse, einer wie (-4, 0) auf der x-Achse; keiner liegt in einem Quadranten, denn die Achsen sind die Grenzen. Das Werkzeug oben sagt das ausdrücklich, wenn du auf eine Achse klickst - weil das der Fall ist, bei dem am häufigsten geraten wird.
Eine ganze Menge Punkte eintragen
Wenn einzelne Punkte sitzen, fängt eine Liste davon an, etwas zu sagen. Hier sind vier Punkte in einem Achsenkreuz:
Sie liegen nicht verstreut, sie liegen in einer Reihe. Das ist der Moment, in dem das Koordinatensystem beginnt, sich auszuzahlen: Ein Muster in einer Liste von Zahlen wird zu einer Form, die man sieht - und eine Form, die man sieht, lässt sich meist als Gleichung schreiben. Hier ist jedes y die Hälfte seines x, die Gerade ist also y = 1/2x.
Probier einen
Das Gitter ist oben, falls du es brauchst - aber versuch diesen erst im Kopf zu verorten.
Der Punkt ist (-3, 5) - und die Frage ging absichtlich nach der zweiten Zahl, denn die Gewohnheit, ein Paar in der richtigen Reihenfolge zu lesen, ist das, was sich hier aufzubauen lohnt.
Häufige Fragen
- Was ist das Koordinatensystem?
- Es sind zwei Zahlengeraden, die sich im rechten Winkel kreuzen: eine waagerechte, die x-Achse, und eine senkrechte, die y-Achse. Sie treffen sich in einem Punkt, dem Ursprung, der (0, 0) ist. Damit kann jeder Punkt der Fläche durch ein Zahlenpaar benannt werden - wie weit zur Seite und wie weit nach oben.
- Welche Zahl steht in einem Zahlenpaar zuerst?
- Immer die x-Koordinate. Das Paar (3, 2) heißt 3 nach rechts und 2 nach oben, nicht umgekehrt. Die alphabetische Reihenfolge ist eine zuverlässige Eselsbrücke: x kommt vor y im Alphabet und steht vorn im Paar. Das Wort 'geordnet' in 'geordnetes Paar' arbeitet wirklich - (3, 2) und (2, 3) sind zwei verschiedene Punkte.
- Wie werden die vier Quadranten gezählt?
- Sie beginnen oben rechts und laufen gegen den Uhrzeigersinn: Quadrant I ist oben rechts, dort sind beide Koordinaten positiv; II ist oben links (x negativ, y positiv); III unten links (beide negativ) und IV unten rechts (x positiv, y negativ). Gegen den Uhrzeigersinn wirkt willkürlich, passt aber zur Richtung, in der Winkel gemessen werden - deshalb lohnt es sich, es so zu lernen.
- In welchem Quadranten liegt ein Punkt auf einer Achse?
- In keinem. Die Achsen sind die Grenzen zwischen den Quadranten und gehören zu keinem, also sagt man von einem Punkt wie (0, 3) oder (-4, 0), er liege auf der y-Achse beziehungsweise auf der x-Achse - nicht, er liege in einem Quadranten. Der Ursprung liegt auf beiden.
- Warum heißt es kartesisches Koordinatensystem?
- Nach René Descartes, der 1637 die Idee veröffentlichte, Punkte durch Zahlenpaare zu benennen. Es ist eine der nützlichsten Ideen der Mathematik: Sie macht aus Geometrie Algebra. Eine Gerade ist keine Zeichnung mehr, sondern eine Gleichung - und damit kann man rechnen.
Jetzt mach es selbst, richtig
Den Rechenweg von jemand anderem zu lesen ist nicht dasselbe, wie ihn selbst gehen zu können. Der Mathe-Kurs von Coddy setzt dich an ein Board, das jeden deiner Schritte prüft - so merkst du, wo du wirklich stehst.
