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Größter gemeinsamer Teiler über gemeinsame Primfaktoren oder den euklidischen Algorithmus.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Ein Teiler einer Zahl teilt sie genau, ohne Rest: Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Ein gemeinsamer Teiler zweier Zahlen steht in beiden Listen. Der größte gemeinsame Teiler ist der größte, den sie teilen – die größte Zahl, die beide restlos teilt.
Der ggT von 24 und 36 ist 12. Beide sind durch 1, 2, 3, 4, 6 und 12 teilbar, und 12 ist der größte davon. Im Englischen heißt er auch greatest common divisor (GCD) oder highest common factor (HCF); alle Namen bedeuten genau dasselbe, und welchen man gelernt hat, ist vor allem eine Frage der Geografie.
Seine Hauptaufgabe ist das Kürzen. Um 24/36 vollständig zu kürzen, teilst du beide Teile durch ihren ggT: 24 ÷ 12 = 2 und 36 ÷ 12 = 3, das ergibt 2/3 in einem Schritt. Durch einen kleineren gemeinsamen Teiler zu teilen funktioniert auch, zwingt dich aber in eine neue Runde – und genau deshalb sucht man den größten.
Tippe zwei oder mehr ganze Zahlen, getrennt durch Kommas oder Leerzeichen: 24, 36 oder 54 24 36. Bis zu zehn auf einmal.
Der ggT steht oben. Darunter wird dasselbe Ergebnis über gemeinsame Primfaktoren erreicht und – bei genau zwei Zahlen – über den euklidischen Algorithmus.
Jede Zeile ist ein Primfaktor. Der ggT nimmt den niedrigsten Exponenten der Zeile, und jede Zeile mit einem Strich fällt vollständig weg, denn ein Faktor, den nur einige der Zahlen haben, ist nicht gemeinsam.
Jede Zeile teilt und notiert den Rest; die nächste wiederholt das mit Teiler und diesem Rest. Wird der Rest null, ist der vorherige dein Ergebnis.
Die Paare, die am häufigsten vorkommen, mit dem Grund und nicht nur dem Ergebnis.
| Zahlen | ggT | Warum |
|---|---|---|
| 24 und 36 | 12 | Beide haben 2² und 3 gemeinsam |
| 48 und 18 | 6 | Beide haben 2 und 3 gemeinsam |
| 8 und 12 | 4 | Beide haben 2², aber nur die 12 hat eine 3 |
| 15 und 25 | 5 | Beide haben eine einzige 5 gemeinsam |
| 8 und 9 | 1 | Kein gemeinsamer Primfaktor – teilerfremd |
| 7 und 21 | 7 | 7 teilt 21, also ist die kleinere Zahl der ggT |
| 54, 24 und 36 | 6 | 2 und 3 kommen in allen drei vor |
24, 3624 = 2³ · 3 und 36 = 2² · 3². Für jeden Primfaktor nimmt man den niedrigeren Exponenten: 2² (weil 24 drei Zweien hat, 36 aber nur zwei) und 3¹ (weil 36 zwei Dreien hat, 24 aber nur eine). Das ergibt 2² · 3 = 12. Der euklidische Weg stimmt überein: 36 = 1 × 24 + 12, dann 24 = 2 × 12 + 0, der letzte Rest ungleich null ist also 12.
24, 36Der ggT ist 12, also teile beide Teile durch ihn: 24 ÷ 12 = 2 und 36 ÷ 12 = 3, das ergibt 2/3. Hättest du nur den Faktor 2 gesehen, wärst du bei 12/18, dann 6/9, dann 2/3 gelandet – am gleichen Ort, drei Schritte später. Den größten gemeinsamen Teiler zu finden ist das, was daraus einen einzigen Schritt macht.
8, 98 = 2³ und 9 = 3². Sie haben keinen Primfaktor gemeinsam, es gibt also nichts, was in den ggT gehört, und das Ergebnis ist 1. Solche Zahlen nennt man teilerfremd. Es bedeutet auch, dass der Bruch 8/9 schon vollständig gekürzt ist.
48, 1848 = 2 × 18 + 12. Nun mit 18 und 12 wiederholen: 18 = 1 × 12 + 6. Mit 12 und 6 wiederholen: 12 = 2 × 6 + 0. Der Rest ist null, also ist der vorherige Rest, 6, der ggT. Beachte, dass nie etwas zerlegt wurde – deshalb funktioniert das Verfahren auch bei Zahlen mit hunderten Stellen.
