12/16 kürzen
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12/1612 ist 2² · 3, 16 ist 2⁴. Gemeinsam ist 2², der größte gemeinsame Teiler also 4: beide Terme geteilt ergibt 3/4. Durch 2 zu teilen hätte 6/8 ergeben - richtig, aber nicht fertig, denn 6 und 8 haben noch eine 2 gemeinsam.
Bruch-Kürzen-Rechner
Kürze jeden Bruch vollständig - der gemeinsame Teiler wird gefunden, nicht behauptet.
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Kürzen ist eine einzige Division, an beiden Termen ausgeführt
Ein Bruch ändert seinen Wert nicht, wenn beide Terme mit derselben Zahl multipliziert oder durch sie geteilt werden: 12/16, 6/8 und 3/4 sind eine Größe in drei Schreibweisen. Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch alles Gemeinsame zu teilen, bis nichts Gemeinsames übrig ist. Diese Zahl ist ihr größter gemeinsamer Teiler, und sie ist das Einzige, was du finden musst.
Die meisten Rechner zeigen den gekürzten Bruch und hören dort auf - damit verschwindet die interessante Hälfte. Hier werden beide Terme erst in Primfaktoren zerlegt: 12 ist 2² · 3, 16 ist 2⁴, gemeinsam ist 2², also ist der Faktor 4. Deshalb 4 und nicht 2 und nicht 8 - und nach zwei oder drei Mal brauchst du den Rechner nicht mehr, was genau der Sinn der Sache ist.
Alles ist exakt. 1/3 erscheint als 0.333… mit markierter Periode und nicht als 0.3333333333, ein Sechstel als Prozentwert ist 16⅔% und nicht 16.67%, und bei einer gemischten Zahl gehört das Vorzeichen zur ganzen Größe: -2 3/4 ist -11/4 und niemals -5/4.
Worauf es ankommt
- Vollständig gekürzt heißt: die beiden Terme haben keinen gemeinsamen Teiler über 1. Das ist die Abbruchbedingung - nicht «die Zahlen sehen klein aus».
- Der Faktor, durch den man teilt, ist der größte gemeinsame Teiler. Ein kleinerer gemeinsamer Teiler geht auch, braucht aber mehrere Runden: 12/16 durch 2 ergibt 6/8, und da fehlt noch eine 2.
- Kürzen und ggT-Bestimmung sind dasselbe Problem. Wer das eine kann, kann das andere - die beiden Rechner hier gehen absichtlich denselben Weg.
- Ein Bruch mit teilerfremden Termen ist fertig. 7/9 lässt sich nicht kürzen, und das gesagt zu bekommen ist eine Antwort, kein Scheitern.
- Kürzen ändert weder die Dezimalzahl noch den Prozentwert, weil es den Wert nicht ändert. Das ist eine kostenlose Kontrolle: hat sich die Dezimalzahl verschoben, hast du nur einen Term geteilt.
So kürzt man einen Bruch
Zuerst die gemischte Zahl
Steht eine ganze Zahl davor, hole sie herein: ganze Zahl mal Nenner, plus Zähler. Aus 2 6/8 wird (2 · 8 + 6)/8 = 22/8. Ein Vorzeichen gehört, falls vorhanden, zur ganzen Größe.
Zerlege beide Terme in Primfaktoren
22 ist 2 · 11, 8 ist 2³. Das Hinschreiben macht die gemeinsamen Faktoren sichtbar, statt sie erraten zu lassen.
Multipliziere die gemeinsamen Primfaktoren
Nimm jeden Primfaktor, den beide haben, so oft, wie ihn beide haben. Hier ist es eine einzige 2, der größte gemeinsame Teiler ist also 2.
Teile beide Terme dadurch
22 ÷ 2 = 11 und 8 ÷ 2 = 4, der Bruch ist also 11/4. Kontrolle: 11 und 4 haben nichts gemeinsam, damit ist vollständig gekürzt.
Schreib es so, wie die Aufgabe es will
11/4 ist mehr als ein Ganzes, lässt sich also auch als gemischte Zahl 2 3/4 schreiben - derselbe Wert und meist die erwartete Form, wenn die Aufgabe mit einer gemischten Zahl begann.
Brüche vollständig gekürzt
Dieselben acht Größen in allen Kostümen: der gegebene Bruch, der herauskommende Faktor, die gekürzte Form, die exakte Dezimalzahl und der exakte Prozentwert.
| Bruch | ggT | Gekürzt | Dezimal | Prozent |
|---|---|---|---|---|
| 12/16 | 4 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 8/12 | 4 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 84/126 | 42 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 15/25 | 5 | 3/5 | 0.6 | 60% |
| 45/60 | 15 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 18/6 | 6 | 3 | 3 | 300% |
| 7/9 | 1 | 7/9 | 0.777… | 77⁷⁄₉% |
| 2 6/8 | 2 | 2 3/4 | 2.75 | 275% |
Gerechnete Beispiele
Eine, die schon fertig ist: 7/9
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7/97 ist prim und 9 ist 3², sie haben also nichts über 1 gemeinsam und der Bruch lässt sich nicht kürzen. Die Seite sagt das, statt Arbeit vorzutäuschen: «schon vollständig gekürzt» ist die Antwort auf die gestellte Frage.
Eine große: 84/126
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84/12684 ist 2² · 3 · 7 und 126 ist 2 · 3² · 7. Gemeinsam: eine 2, eine 3, eine 7 - der Faktor ist also 42 und der Bruch fällt direkt auf 2/3. Die 42 mit dem Auge zu sehen ist schwer; sie aus den beiden Zerlegungen abzulesen nicht.
Eine gemischte Zahl: 2 6/8
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2 6/8Erst hereinholen: 2 · 8 + 6 = 22, also 22/8. Dann durch 2 auf 11/4 kürzen und als 2 3/4 zurückschreiben. Die ganze Zahl musste nicht angefasst werden - kürzbar war nur der Bruchteil.
Eine, die ganz aufgeht: 18/6
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18/6Der größte gemeinsame Teiler ist 6, und beide Terme geteilt ergibt 3/1 - also einfach 3. Ein Bruchstrich über nichts liest sich wie ein Fehler, deshalb steht die Antwort als schlichte 3.
Häufige Fehler
- Nur einen Term teilen. 12/16 ist nicht 3/16: was oben passiert, muss unten passieren, sonst hast du den Wert verändert.
- Zu früh aufhören. 6/8 ist eine korrekte Kürzung von 12/16 und trotzdem nicht die Antwort: fast jede Bewertung will vollständig gekürzt.
- Subtrahieren statt dividieren. 12/16 ist nicht 8/12, «weil ich von beiden 4 abgezogen habe». Brüche sind Verhältnisse - nur Multiplikation und Division lassen sie unberührt.
- Über eine Summe hinweg kürzen. In (4 + 6)/2 darf die 4 nicht gegen die 2 gekürzt werden: die 2 teilt den ganzen Zähler, also kommt die Summe zuerst.
- Das Vorzeichen der gemischten Zahl an den Bruchteil hängen. -2 3/4 bedeutet -(2 + 3/4) = -11/4. Als -2 + 3/4 gelesen ergibt es -5/4, eine völlig andere Zahl.
- Unterwegs runden. Wenn Dezimalzahl oder Prozentwert gefragt sind, hole erst den exakten Bruch: 1/3 als 0.33 geschrieben ist kein Drittel mehr.
Häufige Fragen zum Kürzen von Brüchen
Wie kürze ich einen Bruch?
Teile Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Bei 12/16 ist dieser Faktor 4, es ergibt sich 3/4. Wenn du den Faktor nicht siehst, zerlege beide Zahlen in Primfaktoren und multipliziere die gemeinsamen: dieses Produkt IST der größte gemeinsame Teiler.
Was heißt «vollständig gekürzt»?
Dass Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler über 1 mehr haben. 3/4 ist vollständig gekürzt; 6/8 nicht, weil beide Terme noch gerade sind. «Gekürzter Bruch» und «einfachste Form» bedeuten genau dasselbe.
Woran erkenne ich, dass ein Bruch nicht kürzbar ist?
Wenn der größte gemeinsame Teiler der beiden Terme 1 ist - dann heißen sie teilerfremd. Schnelltest: ist der Zähler prim und teilt den Nenner nicht, bist du fertig. 7/9, 5/12 und 13/20 sind so, wie sie stehen, fertig.
Funktioniert das auch für gemischte Zahlen und unechte Brüche?
Ja. Eine gemischte Zahl wird zuerst in einen einzigen Bruch verwandelt (aus 2 6/8 wird 22/8), gekürzt und wieder als gemischte Zahl geschrieben, wenn sie größer als ein Ganzes ist. Unechte Brüche laufen genauso, und du bekommst beide Formen der Antwort.
Warum zeigt die Antwort eine periodische statt einer gerundeten Dezimalzahl?
Weil das verschiedene Zahlen sind. Ein Drittel ist 0.333… ohne Ende, und 0.333 ist kein Drittel - es ist um ein Dreitausendstel kleiner. Die Periode zu markieren ist die einzige ehrliche Schreibweise, deshalb rundet die Seite nicht.
Ist Kürzen dasselbe wie den ggT bestimmen?
Praktisch ja: die ganze Arbeit besteht darin, den größten gemeinsamen Teiler zu finden und eine Division damit auszuführen. Darum zeigt diese Seite beide Zerlegungen, und darum geht der ggT-Rechner hier denselben Weg - eine Fähigkeit mit zwei Namen.
Muss ich meine Ergebnisse immer kürzen?
Fast immer, ja. Ein ungekürzter Bruch ist im Wert nicht falsch, aber die meisten Erwartungshorizonte geben den Punkt für die vollständig gekürzte Form, und Brüche vergleichen sich viel leichter, wenn beide gekürzt sind. Ausnahme: eine Aufgabe, die einen bestimmten Nenner verlangt.
