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Wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt, exakt, mit dem Perzentil, auf dem er landet.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Nimm irgendeinen Wert aus einer Verteilung, ziehe den Mittelwert ab und teile durch die Standardabweichung. Das Ergebnis ist, wie viele Standardabweichungen der Wert vom Zentrum entfernt liegt, und in welche Richtung. Ein z von 2 heißt zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert; ein z von minus 0,5 heißt eine halbe Standardabweichung darunter. Das ist die ganze Formel, und es lohnt sich, sie einmal von Hand zu rechnen, denn jede spätere Idee in der Statistik, von Konfidenzintervallen bis zu Hypothesentests, ist ein verkleideter z-Wert.
z-Werte sind wichtig, weil sie jede Normalverteilung auf ein Lineal legen. Ein Testergebnis von 85 bei einem Test mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 6 ist z = 2,5; eine Körpergröße von 190 cm in einer Population mit Mittelwert 175 und Standardabweichung 6 ist ebenfalls z = 2,5. Beide liegen auf demselben Perzentil, etwa dem 99,4., und eine Tabelle bedient beide. Diese Seite liest diese Tabelle für dich, zeichnet die Kurve mit der Fläche unterhalb deines Werts schattiert und meldet auch den Anteil darüber und den Anteil innerhalb dieses Abstands vom Mittelwert.
Die Arithmetik hier bleibt exakt. Ein z von 15 durch 6 ist 5/2, und die Seite druckt 5/2 mit 2,5 daneben, statt einer Dezimalzahl, die gerundet werden müsste, wenn die Zahlen weniger bequem sind. Das Perzentil, als Fläche unter einer Kurve, ist zwangsläufig eine Dezimalzahl und wird als solche gekennzeichnet.
Behalte das Vorzeichen. Ein Wert unter dem Mittelwert gibt eine negative Differenz, und dieses Vorzeichen zieht sich bis zur Antwort durch.
Nimm die Standardabweichung der Population, wenn du sie hast, die der Stichprobe, wenn nur die da ist. Halte das Ergebnis exakt, wenn die Division nicht aufgeht.
Die Fläche links von z ist der Anteil der Population unter deinem Wert. Tabellen listen sie; diese Seite berechnet sie direkt.
Wert gleich Mittelwert plus z mal Standardabweichung. So wird ein Perzentil-Grenzwert wieder in eine Punktzahl verwandelt.
Fläche links von z auf der Standardnormalkurve.
| z | Perzentil | Anteil darüber | Wo es verwendet wird |
|---|---|---|---|
| −2 | 2,3 % | 97,7 % | Zwei Standardabweichungen darunter |
| −1 | 15,9 % | 84,1 % | Eine darunter |
| 0 | 50 % | 50 % | Der Mittelwert |
| 1 | 84,1 % | 15,9 % | Eine darüber |
| 1,28 | 90 % | 10 % | Grenze der obersten 10 % |
| 1,645 | 95 % | 5 % | Einseitiger 5-%-Test |
| 1,96 | 97,5 % | 2,5 % | Zweiseitiger 5-%-Test |
| 2,33 | 99 % | 1 % | Grenze des obersten 1 % |
x = 85, μ = 70, σ = 685 minus 70 ist 15, und 15 durch 6 ist 5/2, also z = 2,5. Die Fläche links von 2,5 ist 0,9938, das Ergebnis liegt also etwa auf dem 99,4. Perzentil: Weniger als einer von hundert hat besser abgeschnitten.
x = 48, μ = 50, σ = 2.548 minus 50 ist minus 2, und minus 2 durch 2,5 ist minus 4/5, also z = −0,8. Etwa 21 % der Messwerte liegen tiefer. Ein negatives z ist kein schlechtes z; es liegt nur unter der Mitte.
z = 1.645, μ = 1000, σ = 150Die Umkehrfrage. Die obersten 5 % beginnen bei z = 1,645, und 1000 plus 1,645 mal 150 ist etwa 1247. Schalte die Seite auf "Wert zu einem z-Wert finden", um das Einsetzen zu sehen.
