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Die Abweichungstabelle Zeile für Zeile - der Teil, für den es Punkte gibt.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Nimm eine Liste von Zahlen und ihren Mittelwert. Jeder Wert liegt in einem gewissen Abstand von diesem Mittelwert, und die Standardabweichung ist ungefähr die typische Größe dieser Abstände. Ihr einfacher Durchschnitt kann es nicht sein, denn die Abstände über und unter dem Mittelwert heben sich exakt zu null auf - deshalb wird jeder erst quadriert, die Quadrate werden gemittelt, und die Wurzel am Ende hebt das Quadrieren auf, sodass die Antwort wieder in den ursprünglichen Einheiten steht.
Das ist die ganze Formel, und der Teil, für den es tatsächlich Punkte gibt, ist der mittlere: die Tabelle von jedem Wert minus Mittelwert, jede dieser Differenzen quadriert. Diese Seite druckt diese Tabelle vollständig, mit der Summe, die beide Varianzen teilen. Konkurrierende Rechner drucken Sigma und hören auf - also genau den einen Teil, den man auch mit dem Handy hinbekommt.
Es gibt zwei Divisoren, und der Unterschied zählt. Teile die Summe durch n, wenn deine Zahlen die ganze Gruppe SIND - die Grundgesamtheit. Teile durch n − 1, wenn sie eine Stichprobe für etwas Größeres sind, denn der Mittelwert einer Stichprobe liegt ihren eigenen Werten ein wenig zu nah, und ein Divisor kleiner gleicht das aus. Hier stehen immer beide, der Divisor ist also deine Entscheidung und nicht die der Seite.
Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Halte ihn exakt - wenn der Mittelwert 7/3 ist, schreib nicht 2,33, denn dieser Fehler wird gleich quadriert.
Das sind die Abweichungen. Manche sind negativ, und das ist richtig; als Kontrolle müssen sie genau null ergeben.
Das Quadrieren entfernt die Vorzeichen und gewichtet große Abstände stärker. Addiere die Quadrate: diese Summe ist die Summe der Quadrate.
Durch n, wenn diese Werte die ganze Gruppe sind, die dich interessiert; durch n − 1, wenn sie eine Stichprobe aus etwas Größerem sind. Das Ergebnis ist die Varianz.
Das ist die Standardabweichung. Sie steht in denselben Einheiten wie deine Ausgangsdaten, was die Varianz nicht tat.
Dieselben Zahlen unter beiden Divisoren. Beachte, wie der Abstand zwischen beiden Antworten schrumpft, je länger die Liste wird.
| Werte | Mittelwert | Summe der Quadrate | σ (Grundgesamtheit) | s (Stichprobe) |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 32 | 2 | 2.138 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 5 | 1.118 | 1.291 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 210 | 5.123 | 5.477 |
| 3, 3, 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 14/3 | 1.106 | 1.528 |
| 5, 15 | 10 | 50 | 5 | 7.071 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6 | 40 | 2.828 | 3.162 |
| 100, 100, 100, 200 | 125 | 7500 | 43.301 | 50 |
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9Die acht Werte ergeben 40, der Mittelwert ist also 5. Die Abweichungen sind −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 (Summe null, wie es sein muss) und ihre Quadrate ergeben 32. Geteilt durch n = 8 ist die Varianz 4, die Wurzel genau 2. Als Stichprobe wäre es 32/7, etwa 2,138.
1, 2, 3, 4Der Mittelwert ist 2,5 und die Summe der Quadrate 5. Durch 4 geteilt ist die Varianz 5/4 und die Standardabweichung √5/2 ≈ 1,118; durch 3 geteilt 5/3 und etwa 1,291. Die Stichprobenantwort ist immer größer, weil der Mittelwert einer Stichprobe ihre eigenen Werte etwas zu eng umfasst.
1, 2, 4Der Mittelwert ist 7/3, nicht 2,33. Die Abweichungen sind −4/3, −1/3 und 5/3, ihre Quadrate 16/9, 1/9 und 25/9 mit der Summe 14/3. Den Mittelwert vorher zu runden hätte eine Stelle weggeworfen, noch bevor quadriert wurde - deshalb ist hier jede Tabellenzeile ein Bruch.
3, 3, 3Jede Abweichung ist null, also ist die Summe der Quadrate null und die Standardabweichung ebenfalls. Nur so kann eine Standardabweichung null sein: nicht «die Zahlen sind klein», sondern «alle Werte sind gleich».
100, 100, 100, 200Drei Werte stimmen genau überein, einer nicht, und die Standardabweichung liegt bei etwa 43 - mehr als ein Viertel der ganzen Spannweite. Das Quadrieren der Abstände gibt diesem einen fernen Wert so viel Gewicht, und genau deshalb ist das Maß gut darin, Ausreißer anzuzeigen.
