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Ein Intervall für einen Mittelwert oder Anteil bei 90, 95 oder 99 %, mit ausgerechneter Fehlerspanne.
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Ein Stichprobenmittel ist eine Vermutung über den Populationsmittelwert, und eine Vermutung ohne Bereich ist eine Vermutung, die du nicht prüfen kannst. Das Konfidenzintervall ist dieser Bereich: die Schätzung, plus und minus eine Fehlerspanne. Die Spanne ist ein kritischer Wert mal der Standardfehler, und jeder dieser zwei Faktoren beantwortet eine andere Frage. Der Standardfehler ist, wie stark sich die Schätzung von einer Stichprobe zur nächsten bewegen würde; der kritische Wert ist, wie viele dieser Standardfehler das Intervall reichen muss, um das gewünschte Konfidenzniveau zu treffen.
Für einen Mittelwert folgt die Seite dem Standardrezept. Aus Rohdaten berechnet sie Mittelwert und Stichproben-Standardabweichung exakt, die Standardabweichung als Wurzel behalten; aus Kennzahlen nimmt sie deine Zahlen wie angegeben. Wird die Standardabweichung aus der Stichprobe geschätzt, kommt der kritische Wert aus der t-Kurve mit n minus 1 Freiheitsgraden, was die ehrliche Wahl und hier der Standard ist; die z-Variante ist einen Schalter entfernt, für ein bekanntes Sigma oder ein großes n. Für einen Anteil gibt die Seite zwei Intervalle: das Wald-Intervall, das in den meisten Lehrbüchern steht, und das Wilson-Score-Intervall, das du berichten solltest, weil Wald sich danebenbenimmt, wenn der Anteil nahe 0 oder 1 liegt oder die Stichprobe klein ist.
Das Intervall wird unter der Antwort auf einem Zahlenstrahl gezeichnet, mit markierter Schätzung, denn ein Bild eines Intervalls sagt etwas, was ein Zahlenpaar nicht sagt: wie breit es ist im Verhältnis zu dem, wo es liegt. Ein Intervall für einen Mittelwert von 4,9 bis 5,1 und eines von 2 bis 8 sind beides Intervalle; nur eines davon lohnt sich, auf drei Nachkommastellen zu berichten.
Das Stichprobenmittel oder der Stichprobenanteil. Halte es exakt, wenn du kannst; die Seite tut es.
Für einen Mittelwert: die Standardabweichung durch Wurzel n. Für einen Anteil: die Wurzel aus p(1 − p) durch n.
Für einen Mittelwert mit geschätztem Sigma: aus der t-Kurve mit n minus 1 Freiheitsgraden auf deinem Niveau. Für ein bekanntes Sigma oder einen Anteil: aus der Normalkurve, 1,645, 1,960 oder 2,576 für 90, 95 oder 99 %.
Fehlerspanne gleich kritischer Wert mal Standardfehler. Das Intervall reicht von der Schätzung minus Spanne bis zur Schätzung plus Spanne.
Wie viele Standardfehler das Intervall zu beiden Seiten der Schätzung reicht.
| Niveau | z | t, df = 5 | t, df = 10 | t, df = 30 |
|---|---|---|---|---|
| 90 % | 1,645 | 2,015 | 1,812 | 1,697 |
| 95 % | 1,960 | 2,571 | 2,228 | 2,042 |
| 99 % | 2,576 | 4,032 | 3,169 | 2,750 |
x̄ = 50, s = 10, n = 25, 95%Der Standardfehler ist 10 durch 5, also 2. Mit 24 Freiheitsgraden ist der kritische t-Wert bei 95 % 2,064, die Fehlerspanne ist also etwa 4,13, und das Intervall reicht von 45,87 bis 54,13. Mit z stattdessen wären es 1,96 mal 2, eine Spanne von 3,92, etwas zu schmal für eine Stichprobe von 25.
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9Der Mittelwert ist genau 5 und die Stichproben-Standardabweichung ist 4√14/7, etwa 2,138. Geteilt durch Wurzel 8 gibt das einen Standardfehler von etwa 0,756; mit 7 Freiheitsgraden ist der t-Wert 2,365, und das 95-%-Intervall ist etwa 3,21 bis 6,79.
40 successes in 100 trialsDer Stichprobenanteil ist 0,4. Das Wald-Intervall ist 0,4 plus oder minus 1,96 mal 0,049, also 0,304 bis 0,496. Das Wilson-Intervall ist 0,309 bis 0,498: leicht zur Mitte verschoben, und das ist die Korrektur, die es an den Rändern ehrlich hält. Mit 40 und 60 beide deutlich über 10 stimmen die zwei fast überein; bei 3 Erfolgen in 10 täten sie es nicht.
