Le tableau des écarts ligne par ligne - la partie sur laquelle on vous note.
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Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Prenez une liste de nombres et sa moyenne. Chaque valeur se situe à une certaine distance de cette moyenne, et l'écart type est en gros la taille habituelle de ces distances. Ce ne peut pas être leur moyenne directe, car les distances au-dessus et au-dessous de la moyenne s'annulent exactement à zéro : chacune est donc élevée au carré, les carrés sont moyennés, et la racine finale défait le carré pour que la réponse revienne dans les unités d'origine.
C'est toute la formule, et la partie sur laquelle vous êtes réellement noté est celle du milieu : le tableau de chaque valeur moins la moyenne, avec chacune de ces différences élevée au carré. Cette page imprime ce tableau en entier, avec le total que les deux variances divisent. Les calculatrices concurrentes impriment sigma et s'arrêtent - précisément la seule partie qu'un élève aurait pu faire avec son téléphone.
Il y a deux diviseurs et la différence compte. Divisez le total par n quand vos nombres SONT le groupe entier - la population. Divisez par n − 1 quand ils sont un échantillon représentant quelque chose de plus grand, car la moyenne d'un échantillon colle un peu trop à ses propres valeurs et diviser par un de moins compense. Les deux sont toujours affichés ici, si bien que le diviseur est un choix que vous faites et non un choix que la page fait pour vous.
Additionnez toutes les valeurs et divisez par leur nombre. Gardez-la exacte : si la moyenne vaut 7/3, n'écrivez pas 2,33, car cette erreur est sur le point d'être élevée au carré.
Ce sont les écarts. Certains sont négatifs, et c'est normal ; comme vérification, ils doivent s'additionner à exactement zéro.
Le carré supprime les signes et donne plus de poids aux grandes distances. Additionnez les carrés : ce total est la somme des carrés.
Par n si ces valeurs sont le groupe entier qui vous intéresse ; par n − 1 si elles sont un échantillon d'un ensemble plus grand. Le résultat est la variance.
C'est l'écart type. Il est dans les mêmes unités que vos données d'origine, ce que la variance n'était pas.
Les mêmes nombres sous les deux diviseurs. Voyez comme l'écart entre les deux réponses se resserre à mesure que la liste s'allonge.
| Valeurs | Moyenne | Somme des carrés | σ (population) | s (échantillon) |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 32 | 2 | 2.138 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 5 | 1.118 | 1.291 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 210 | 5.123 | 5.477 |
| 3, 3, 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 14/3 | 1.106 | 1.528 |
| 5, 15 | 10 | 50 | 5 | 7.071 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6 | 40 | 2.828 | 3.162 |
| 100, 100, 100, 200 | 125 | 7500 | 43.301 | 50 |
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9Les huit valeurs totalisent 40, la moyenne vaut donc 5. Les écarts sont −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 (leur somme est nulle, comme il se doit) et leurs carrés totalisent 32. Divisé par n = 8 cela donne une variance de 4, et la racine vaut exactement 2. En échantillon ce serait 32/7, soit environ 2,138.
1, 2, 3, 4La moyenne vaut 2,5 et la somme des carrés 5. Divisée par 4 la variance est 5/4 et l'écart type √5/2 ≈ 1,118 ; divisée par 3 elle vaut 5/3 et environ 1,291. La réponse d'échantillon est toujours la plus grande, car la moyenne d'un échantillon serre ses propres valeurs d'un peu trop près.
1, 2, 4La moyenne vaut 7/3, pas 2,33. Les écarts sont −4/3, −1/3 et 5/3, leurs carrés 16/9, 1/9 et 25/9, pour un total de 14/3. Arrondir la moyenne d'abord aurait jeté un chiffre avant même le passage au carré - c'est pourquoi chaque ligne du tableau ici est une fraction.
3, 3, 3Chaque écart est nul, donc la somme des carrés est nulle et l'écart type aussi. C'est la seule façon pour un écart type d'être nul : non pas « les nombres sont petits » mais « toutes les valeurs sont identiques ».
100, 100, 100, 200Trois valeurs coïncident exactement et une non, et l'écart type vaut environ 43 - plus du quart de l'étendue totale. C'est le passage au carré des distances qui donne tant de poids à cette seule valeur éloignée, et c'est précisément pourquoi la mesure repère bien les valeurs aberrantes.
Le diviseur. L'écart type de population divise la somme des carrés par n, car les valeurs sont le groupe entier. Celui d'échantillon divise par n − 1, car la moyenne d'un échantillon colle un peu trop à ses propres valeurs et diviser par un de moins compense. La réponse d'échantillon est toujours la plus grande.
Si vos nombres sont tout ce qui vous intéresse - les notes de toute la classe, la taille des six enfants - prenez la formule de population. S'ils sont un échantillon choisi pour représenter un ensemble plus grand, prenez n − 1. La plupart des travaux de statistique demandent la version d'échantillon, et les énoncés d'examen précisent presque toujours laquelle.
Trouvez la moyenne, soustrayez-la de chaque valeur, élevez chaque différence au carré, additionnez les carrés, divisez par n (ou n − 1) et prenez la racine carrée. Cette page imprime tout ce tableau pour que vous compariez chaque ligne à votre propre travail, pas seulement le nombre final.
Parce qu'ils s'additionnent sinon à exactement zéro : les distances positives et négatives s'annulent par la définition même de la moyenne. Le carré supprime les signes et donne aussi plus de poids aux grandes distances, ce qui explique qu'une seule valeur aberrante déplace tant l'écart type.
La variance est la moyenne des écarts au carré ; l'écart type est sa racine carrée. Les unités de la variance sont au carré - kilos carrés, centimètres carrés - et difficiles à interpréter, d'où la racine qui ramène la réponse dans les unités des données.
Négatif jamais : c'est une racine carrée d'une moyenne de carrés. Nul seulement si toutes les valeurs sont identiques, le seul cas sans distance à la moyenne à mesurer. Si vous obtenez un nombre négatif, un signe a été perdu dans le tableau.
À peu près à quelle distance de la moyenne se trouve une valeur typique. Pour des données en forme de cloche, environ deux tiers des valeurs se situent à moins d'un écart type de la moyenne et environ 95 % à moins de deux - ce qui en fait l'étalon de « cette valeur est-elle inhabituelle ? ».
Parce que ce sont les réponses exactes. La moyenne de 1, 2 et 4 vaut 7/3, et tout carré construit sur 2,33 est légèrement faux. Le décimal est proposé à côté de la valeur exacte et non à sa place, et il est étiqueté comme approximation dès que la racine est irrationnelle.
