Français
La courbe y = a·bˣ qui ajuste une croissance ou une décroissance, avec le taux par pas.
Dernière mise à jour
Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Une droite ajoute la même quantité à chaque pas de x. Beaucoup de choses sont plutôt multipliées par le même facteur : un capital placé à intérêts composés, une culture de bactéries, la charge restante d'une batterie, l'écart de température entre une boisson qui refroidit et la pièce. Ce motif s'écrit y = a·bˣ, où a est la valeur en x = 0 et b le facteur appliqué à chaque pas. Si b est supérieur à 1, la grandeur croît ; si b est compris entre 0 et 1, elle décroît ; et (b moins 1) en pourcentage est le taux par pas.
La méthode habituelle pour l'ajuster consiste à prendre le logarithme népérien de chaque y. Si y = a·bˣ, alors ln y = ln a + x·ln b, qui est une droite en x. La méthode ajuste donc une droite des moindres carrés ordinaire aux points (x, ln y), lit ln b sur sa pente et ln a sur son ordonnée à l'origine, puis inverse les logarithmes. C'est ce que font la commande ExpReg d'une TI-84 et la courbe de tendance exponentielle d'Excel, et cette page montre chaque étape : la colonne ln y, la droite ajustée, et les deux exponentielles qui redonnent a et b.
Comme les logarithmes sont irrationnels, c'est la seule calculatrice de régression de la série dont les réponses sont des décimaux arrondis et non des fractions exactes, et elle l'indique à côté du résultat. Elle demande aussi que chaque y soit strictement positif, puisque le logarithme de 0 ou d'un nombre négatif n'existe pas. Le r² affiché est celui de l'ajustement linéaire de ln y, c'est-à-dire la valeur qu'affiche une calculatrice graphique.
Remplacez chaque y par ln y. Pour x = 0, 1, 2, 3, 4 et y = 3, 6, 12, 24, 48, la nouvelle colonne vaut environ 1,0986 ; 1,7918 ; 2,4849 ; 3,1781 et 3,8712.
Utilisez les formules habituelles des moindres carrés pour la pente et l'ordonnée à l'origine sur les points (x, ln y). Ici la pente vaut environ 0,6931 et l'ordonnée à l'origine environ 1,0986.
La pente est ln b et l'ordonnée à l'origine ln a : b vaut donc e puissance la pente et a vaut e puissance l'ordonnée à l'origine. Ici b ≈ e^0,6931 = 2 et a ≈ e^1,0986 = 3.
y ≈ 3·2ˣ, ou y ≈ 3e^(0,6931x) en base e. b = 2 signifie que chaque pas multiplie y par 2 : une croissance de 100 % par pas, et un temps de doublement d'exactement un pas.
Chaque ligne est une série saisie dans la calculatrice ci-dessus. Toutes les valeurs sont arrondies à quatre décimales.
| Valeurs de x | Valeurs de y | Courbe d'ajustement | Variation par pas | r² de ln y |
|---|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3, 4 | 3, 6, 12, 24, 48 | y ≈ 3 · 2ˣ | +100% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 100, 82, 67, 55, 45, 37 | y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ | -18.05% | 1.0000 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36 | y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ | +103.13% | 0.9999 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625 | y ≈ 1000 · 1.05ˣ | +5% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 5, 4, 3, 2, 1 | y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ | -32.38% | 0.9473 |
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 3, 6, 12, 24, 48Chaque y est le double du précédent : les points sont exactement sur y = 3·2ˣ, et la calculatrice renvoie a ≈ 3 et b ≈ 2, une croissance de 100 % par pas, avec r² = 1. En base e, la même courbe s'écrit y ≈ 3e^(0,6931x), et 0,6931 est ln 2. Prolongée jusqu'à x = 6, elle prédit 3·2⁶ = 192.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 100, 82, 67, 55, 45, 37Lisez y comme l'écart de température avec la pièce, mesuré toutes les cinq minutes. L'ajustement donne y ≈ 99,9517 · 0,8195ˣ, soit y ≈ 99,9517e^(-0,1991x) : environ 18,05 % de l'écart disparaît à chaque pas, et la demi-vie vaut ln 2 / 0,1991, environ 3,48 pas. L'ajustement logarithmique est presque parfait : r² vaut 0,99999 à cinq décimales, que la calculatrice arrondit à 1.
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36Les valeurs doublent à peu près à chaque pas, sans le faire exactement. L'ajustement donne y ≈ 1,0413 · 2,0313ˣ, une croissance d'environ 103,13 % par pas, avec r² ≈ 0,9999 sur l'échelle logarithmique. En base e, k ≈ 0,7087 : le temps de doublement vaut ln 2 / 0,7087, environ 0,98 pas.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625Un solde de 1000 placé à 5 % par an. La calculatrice retrouve y ≈ 1000 · 1,05ˣ, une variation de +5 % par pas, avec r² = 1. Retrouver le taux d'intérêt à partir d'une liste de soldes est exactement ce à quoi sert cet ajustement.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 5, 4, 3, 2, 1Ces points baissent de la même quantité à chaque pas : ils sont sur une droite, y = -x + 5. Un ajustement exponentiel renvoie quand même y ≈ 5,6968 · 0,6762ˣ avec r² ≈ 0,9473 sur l'échelle logarithmique, ce qui paraît honorable. Tracez la courbe avec les points et elle les manque aux deux bouts : une droite est ici le bon modèle, et la régression linéaire l'ajuste exactement.
