קו המגמה (Line of Best Fit)

שרטטו נתונים אמיתיים כלשהם והנקודות מסרבות לשבת על ישר אחד. עדיין אפשר לשרטט ישר דרך הענן שתופס את המגמה, ואנשים שונים עם סרגלים ישרטטו ישרים קצת שונים. קו המגמה מכריע את הוויכוח: יש ישר אחד שהוא הטוב ביותר לפי מדד מדויק, ונוסחה שמוצאת אותו.

גררו נקודה כלשהי למטה והישר זז כדי להישאר המתאים ביותר. משכו נקודה רחוק מהאחרות ושימו לב כמה חזק היא מושכת את הישר אליה.

מה פירוש "הטוב ביותר"

ישר מחטיא כל נקודה במרחק אנכי: ה־y האמיתי של הנקודה פחות ה־y שהישר חוזה באותו x. המרחק הזה הוא השארית של הנקודה. ישר טוב צריך לעשות את השאריות קטנות, אבל אי אפשר פשוט לחבר אותן, כי החטאות מעל הישר חיוביות והחטאות מתחתיו שליליות, והן מבטלות זו את זו.

לכן קודם מעלים כל שארית בריבוע, וזה גורם לכל החטאה להיחשב ולהחטאה גדולה להיחשב הרבה יותר מקטנה. קו המגמה הוא הישר שעושה את סכום ריבועי השאריות קטן ככל האפשר. בגלל זה קוראים לו ישר הריבועים הפחותים, ולכל קבוצת נקודות שערכי ה־x שלהן לא כולם זהים יש בדיוק ישר אחד כזה.

שתי הנוסחאות

כתבו את הישר כ־y = mx + b, ואת ממוצעי הנתונים כ־x̄ ו־ȳ. מזעור סכום הריבועים נותן את השיפוע ואת החיתוך ישירות:

m = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / Σ(x - x̄)²

b = ȳ - m x̄

המונה של נוסחת השיפוע הוא אותו סכום מכפלות שנמצא במונה של מקדם המתאם, ולכן לשיפוע ול־r תמיד יש אותו סימן. המכנה תלוי רק ב־x: הוא מודד כמה ערכי ה־x מפוזרים.

דוגמה פתורה

חמש נקודות: x = 2, 4, 6, 8, 10 ו־y = 3, 7, 8, 12, 15. הממוצע של x הוא 6 והממוצע של y הוא 9.

השיפוע הוא m = 58/40 = 29/20, כלומר 1.45. כדי למצוא את החיתוך, מציבים את נקודת הממוצעים בישר ופותרים עבור b:

9 = (29/20)(6) + b

לכן b = 3/10 וקו המגמה הוא y = 1.45x + 0.3. מחשבון הרגרסיה הלינארית עושה את אותה עבודה עם הצורה של הנוסחאות שמבוססת על סכומים מצטברים ומציג כל סכום.

הוא תמיד עובר דרך נקודת הממוצעים

סדרו מחדש את נוסחת החיתוך ותקבלו ȳ = m x̄ + b. זה אומר שהנקודה (x̄, ȳ) יושבת בדיוק על הישר, יהיו הנתונים אשר יהיו. בדוגמה, 1.45 × 6 + 0.3 = 9.

זו בדיקה שימושית לכל ישר שאתם מחשבים, והתחלה שימושית כשמשרטטים ישר בעין: סמנו קודם את נקודת הממוצעים, ואז סובבו את הסרגל סביבה עד שהנקודות מאוזנות משני הצדדים.

אבל מעבר דרך נקודת הממוצעים לבדו לא מספיק. עבור x = 1, 2, 3, 4, 5 ו־y = 2, 4, 5, 4, 5 נקודת הממוצעים היא (3, 4) וישר הריבועים הפחותים הוא y = 0.6x + 2.2, עם סכום ריבועי שאריות של 2.4. גם הישרים y = 0.5x + 2.5 ו־y = x + 1 עוברים דרך (3, 4), וסכומי הריבועים שלהם הם 2.5 ו־4. מבין כל הישרים שעוברים דרך הנקודה הזאת, רק שיפוע 0.6 יורד עד 2.4.

חיזוי בעזרת הישר

כשיש לכם את הישר, חיזוי הוא הצבה. עם y = 1.45x + 0.3, ערך x של 7 נותן 1.45 × 7 + 0.3 = 10.45.

החיזוי הזה הוא אינטרפולציה: 7 נמצא בתוך הנתונים, בין הנקודות ב־6 וב־8, כך שיש עדות משני הצדדים שהמגמה מתקיימת שם. חיזוי מחוץ לטווח הנתונים הוא אקסטרפולציה, ושום דבר בנתונים לא תומך בו.

מקרה מוחשי. שישה תלמידים למדו בין שעה ל־6 שעות וקיבלו 52, 58, 61, 67, 70 ו־76. קו המגמה הוא y = 162/35x + 47.8, שיפוע של בערך 4.63 נקודות לשעה, עם r ≈ 0.9959. בתוך הנתונים הוא חוזה היטב: 4.5 שעות נותנות בערך 68.63. בצעו אקסטרפולציה ל־12 שעות והוא חוזה בערך 103.34, במבחן שהציון המקסימלי בו הוא 100. הישר בסדר; המגמה שהוא מתאר פשוט נעצרת איפשהו מעבר לנתונים, והישר לא יכול לדעת איפה.

כשקו ישר הוא הצורה הלא נכונה

קו מגמה תמיד קיים, גם כשישר הוא המודל הלא נכון. לריבועים 0, 1, 4, 9, 16, 25 ב־x = 0 עד 5 יש קו מגמה y = 5x - 10/3 עם r ≈ 0.9599, שנשמע מצוין, ובכל זאת הנקודות נמצאות על עקומה. השאריות מסגירות את זה: חיוביות בשני הקצוות ושליליות באמצע. העמוד על שאריות מראה איך לקרוא את הדפוס הזה, ומחשבון הרגרסיה הריבועית מתאים במקום זה את העקומה.

נסו אחד

קו המגמה הוא y = 1.45x + 0.3. מה הוא חוזה כש־x = 4?

הנקודה האמיתית ב־x = 4 היא (4, 7), ולכן הישר מחטיא אותה ב־0.9. ההחטאה הזאת היא השארית של הנקודה, וסכום הריבועים של כל חמש ההחטאות, 1.9, הוא הקטן ביותר שישר כלשהו יכול להשיג עבור הנקודות האלה.