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Calcolatrice regressione lineare

La retta di regressione dei tuoi punti, esatta, con r e ogni passaggio del procedimento.

Di Nethanel Bar, Cofondatore e CEO

Ultimo aggiornamento

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La regressione lineare trova l'unica retta che manca i punti il meno possibile

I dati reali non stanno mai su una sola retta, quindi qualsiasi retta tu tracci manca la maggior parte dei punti. Ogni scarto è un residuo: la y reale meno la y prevista dalla retta. La regressione lineare eleva al quadrato ogni residuo, somma i quadrati e sceglie l'unica retta che rende il totale il più piccolo possibile. Quella retta è la retta di regressione dei minimi quadrati, e ce n'è esattamente una per ogni insieme di punti i cui valori di x non sono tutti uguali.

Per trovarla servono cinque numeri: il conteggio n e le somme di x, y, xy e x². La pendenza è m = (nΣxy meno ΣxΣy) diviso (nΣx² meno (Σx)²), e l'intercetta è b = (Σy meno mΣx) diviso n. Questa pagina costruisce la tabella di quelle somme, inserisce i tuoi numeri in entrambe le formule e mostra ogni riga del procedimento, perché la tabella è la parte che controlla l'insegnante.

Pendenza e intercetta restano frazioni esatte. Su dati fatti di numeri interi, decimali e frazioni sono sempre razionali, quindi una pendenza di 162/35 viene stampata come 162/35 e non come 4.6286, che ne è un arrotondamento. Il coefficiente di correlazione r è una radice quadrata, quindi compare come radicale con il decimale accanto. Il pulsante Copia ti dà la retta in decimali, pronta per un foglio di calcolo.

Cosa notare sulla retta

  • Passa sempre per il punto delle medie. Per x da 1 a 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 le medie sono 3 e 4, la retta è y = 0.6x + 2.2, e 0.6 × 3 + 2.2 = 4.
  • I suoi residui sommano sempre esattamente a zero. Gli scarti sopra e sotto la retta si bilanciano, ed è per questo che il metodo li eleva al quadrato prima di sommarli.
  • La pendenza ha un'unità di misura: unità di y per unità di x. Una pendenza di 162/35 tra ore di studio e punteggio del test significa circa 4.63 punti in più per ogni ora in più.
  • Scambiare x e y dà una retta diversa, non la stessa retta riordinata. Regredire y su x rende piccoli gli scarti verticali; regredire x su y rende piccoli quelli orizzontali.
  • La pendenza dice quanto è ripido l'andamento e r dice quanto i punti lo seguono da vicino. Hanno sempre lo stesso segno, ma una retta ripida può avere una r debole e una retta poco inclinata una r forte.
  • Due punti danno sempre un adattamento perfetto con r = 1 o -1. Questo non dice nulla sui dati; una retta di regressione comincia ad avere senso con tre o più punti.

Come trovare a mano la retta di regressione

  1. Costruisci la tabella

    Scrivi ogni punto come una riga con quattro colonne: x, y, xy e x². Somma ogni colonna e conta i punti. Per x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 si ottiene n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 e Σx² = 55.

  2. Calcola la pendenza

    m = (nΣxy meno ΣxΣy) / (nΣx² meno (Σx)²). Qui è (5 × 66 meno 15 × 20) / (5 × 55 meno 15²) = 30 / 50 = 0.6. Tienila come frazione se non viene un decimale breve.

  3. Calcola l'intercetta

    b = (Σy meno mΣx) / n. Qui (20 meno 0.6 × 15) / 5 = 11/5 = 2.2. Usa la pendenza esatta del passaggio precedente, non una arrotondata.

  4. Scrivi la retta e verificala

    y = 0.6x + 2.2. Verifica che passi per il punto delle medie (3, 4): 0.6 × 3 + 2.2 = 4. Se non ci passa, una delle somme è sbagliata.

  5. Valuta l'adattamento

    Calcola r, oppure guarda i residui. Qui r = √15/5, circa 0.7746, e i residui sono -0.8, 0.6, 1, -0.6 e -0.2, con quadrati che sommano 2.4.

Rette di regressione per piccoli insiemi di dati

Ogni riga è un insieme di dati inserito nel calcolatore qui sopra. Pendenza e intercetta sono esatte; r è mostrato come radicale con il suo decimale.

Valori di xValori di yRetta di regressionerr²
1, 2, 3, 4, 52, 4, 5, 4, 5y = 0.6x + 2.2√15/5 ≈ 0.77460.6
0, 1, 2, 37, 5, 3, 1y = -2x + 7-11
2, 4, 6, 8, 103, 7, 8, 12, 15y = 1.45x + 0.329√215/430 ≈ 0.9889841/860
1, 2, 3, 4, 5, 652, 58, 61, 67, 70, 76y = (162/35)x + 47.89√15/35 ≈ 0.9959243/245
1, 2, 3, 4, 53, 1, 4, 1, 5y = 0.4x + 1.6√2/4 ≈ 0.35360.125
1, 32, 8y = 3x - 111
-2, -1, 0, 1, 24, 1, 0, 1, 4y = 200

Esempi svolti

L'insieme classico dei libri

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5

Le somme sono Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 e Σx² = 55 con n = 5. La pendenza è 30/50 = 0.6 e l'intercetta è 11/5 = 2.2, quindi la retta è y = 0.6x + 2.2. I residui sono -0.8, 0.6, 1, -0.6 e -0.2, che sommano 0, e i loro quadrati sommano 2.4. La correlazione è r = √15/5, circa 0.7746: forte e positiva.

Una pendenza frazionaria: ore di studio e punteggio del test

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76

Le medie sono 3.5 ore e 64 punti. La pendenza è 162/35, circa 4.63 punti all'ora, e l'intercetta è 64 meno (162/35) × 3.5 = 47.8, quindi y = (162/35)x + 47.8 con r ≈ 0.9959. A 4.5 ore la retta prevede 2402/35, circa 68.63. A 12 ore prevede circa 103.34 in un test con punteggio massimo 100: un'estrapolazione che i dati non possono sostenere.

Punti già su una retta

plain
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1

Ogni passo di 1 in x fa scendere y di 2, quindi i punti stanno esattamente su y = -2x + 7. Il calcolatore trova quella retta, ogni residuo è 0, la somma dei quadrati dei residui è 0, e r = -1: una correlazione negativa perfetta.

Prevedere dentro e fuori dai dati

plain
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15

La retta è y = 1.45x + 0.3 con r ≈ 0.9889, e passa per il punto delle medie (6, 9). Per x = 7, dentro i dati, prevede 10.45, ed è un'interpolazione di cui ti puoi fidare quanto dell'adattamento. Per x = 60 prevede 87.3, cinquanta unità oltre l'ultimo punto, dove niente nei dati dice che l'andamento regga ancora.

Una r forte che nasconde una curva

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25

La retta di regressione è y = 5x - 10/3 con r ≈ 0.9599, che sembra ottimo. I residui sono 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3 e 10/3: positivi a entrambe le estremità, negativi al centro. Quella forma a U significa che i punti stanno su una curva, e la regressione quadratica li adatta esattamente come y = x².

Errori comuni

  • Arrotondare la pendenza prima di calcolare l'intercetta. Con una pendenza di 162/35, usare 4.63 dà un'intercetta di 47.795 invece di 47.8. Porta avanti la pendenza esatta, arrotonda una sola volta alla fine.
  • Confondere nΣx² e (Σx)². Per x da 1 a 5 il primo è 5 × 55 = 275 e il secondo è 15² = 225. Scambiarli cambia il segno del denominatore.
  • Accoppiare i valori nell'ordine sbagliato. La prima x va con la prima y. Ordinare una colonna senza l'altra produce una retta attraverso punti che non esistono.
  • Estrapolare molto oltre i dati. La retta descrive l'intervallo su cui è stata adattata; una previsione molto fuori da quell'intervallo può essere completamente sbagliata anche quando r è vicino a 1.
  • Prendere una r alta come prova che la retta sia il modello giusto. I quadrati da 0 a 25 danno r ≈ 0.96 e stanno comunque su una curva. Guarda i residui.
  • Leggere la pendenza come una causa. Una retta dice come y tende a cambiare con x in questi dati, non che cambiare x cambierebbe y.
  • Adattare x su y quando la domanda chiede y su x. Le due rette di regressione sono diverse, a meno che tutti i punti stiano su una sola retta.

Domande frequenti sulla regressione lineare

Come si calcola a mano la regressione lineare?
Costruisci una tabella con x, y, xy e x² per ogni punto e somma le colonne. La pendenza è m = (nΣxy meno ΣxΣy) / (nΣx² meno (Σx)²) e l'intercetta è b = (Σy meno mΣx) / n. Per x da 1 a 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 si ottiene m = 30/50 = 0.6 e b = 11/5 = 2.2, quindi y = 0.6x + 2.2. Questa pagina stampa la stessa tabella e compila entrambe le formule, così puoi controllare ogni riga.
Cos'è la retta di regressione dei minimi quadrati?
La retta che rende la somma dei quadrati dei residui la più piccola possibile, dove un residuo è la y reale di un punto meno la y prevista dalla retta. È unica ogni volta che i valori di x non sono tutti uguali. Per i cinque punti qui sopra nessun'altra retta porta la somma dei quadrati sotto 2.4.
Cosa significano la pendenza e l'intercetta?
La pendenza è quanto cambia y, in media, per ogni aumento di 1 in x, in unità di y per unità di x. L'intercetta è la y prevista quando x è 0. L'intercetta ha senso solo se x = 0 sta dentro i dati o vicino; una regressione del peso sull'altezza ha un'intercetta ad altezza 0 che non descrive nessuna persona reale.
La retta di migliore approssimazione è la stessa cosa della retta di regressione?
Sì. In statistica la retta di migliore approssimazione è la retta di regressione dei minimi quadrati, che è ciò che calcola questo calcolatore. Una retta tracciata a occhio sulla carta ne è una stima, e dovrebbe passare per il punto delle medie, come fa sempre la retta calcolata.
Qual è un buon r al quadrato per una retta di regressione?
Dipende dall'ambito. r² è la quota della variabilità di y spiegata dalla retta, quindi 0.9 significa il 90%. Le misure di un esperimento di fisica controllato arrivano spesso a 0.99; i dati sulle persone spesso si fermano tra 0.3 e 0.5 e sono comunque utili. Una r² alta non dimostra che la retta sia la forma giusta, quindi controlla anche i residui.
Quanti punti servono per la regressione lineare?
Due punti definiscono una retta, quindi il calcolatore ne accetta due, ma una retta per due punti si adatta sempre perfettamente e non dice nulla sui dati. Con tre o più punti i residui, r e r² cominciano a portare informazione, e più punti rendono la pendenza più affidabile.
Posso usare la retta di regressione per fare previsioni?
Dentro l'intervallo dei tuoi valori di x, sì: è un'interpolazione, ed è buona quanto l'adattamento. Fuori dall'intervallo è un'estrapolazione, e niente nei dati dice che l'andamento continui. L'esempio del punteggio del test in questa pagina prevede circa 103 punti per 12 ore di studio, in un test con massimo 100.
Perché i risultati sono frazioni e non decimali?
Perché pendenza e intercetta di una retta dei minimi quadrati su dati razionali sono numeri razionali, e la frazione è il valore esatto. 162/35 è la pendenza; 4.6286 ne è un arrotondamento, e ogni previsione fatta con l'arrotondamento si porta dietro l'errore. Il pulsante Copia ti dà i decimali quando ti servono.

Altri strumenti di matematica

Calcolatore test chi quadro

Indipendenza su una tabella di contingenza o bontà di adattamento, con ogni frequenza attesa esatta.

Calcolo coefficiente di correlazione

La r di Pearson dai tuoi dati, esatta come radicale, con la sua forza e il procedimento dietro.

Calcolatrice regressione quadratica

La parabola che meglio si adatta ai tuoi punti, con coefficienti esatti e R².

Calcolatrice regressione esponenziale

La curva y = a·bˣ che si adatta a dati di crescita o decadimento, con il tasso per passo.

Illustrazione dei linguaggi di programmazione di Coddy

Impara la matematica con Coddy

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