La retta di regressione dei tuoi punti, esatta, con r e ogni passaggio del procedimento.
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Il corso di matematica di Coddy insegna il metodo vero e proprio: svolgi ogni passaggio su una lavagna interattiva e ti viene detto esattamente dove un passaggio è andato storto.
I dati reali non stanno mai su una sola retta, quindi qualsiasi retta tu tracci manca la maggior parte dei punti. Ogni scarto è un residuo: la y reale meno la y prevista dalla retta. La regressione lineare eleva al quadrato ogni residuo, somma i quadrati e sceglie l'unica retta che rende il totale il più piccolo possibile. Quella retta è la retta di regressione dei minimi quadrati, e ce n'è esattamente una per ogni insieme di punti i cui valori di x non sono tutti uguali.
Per trovarla servono cinque numeri: il conteggio n e le somme di x, y, xy e x². La pendenza è m = (nΣxy meno ΣxΣy) diviso (nΣx² meno (Σx)²), e l'intercetta è b = (Σy meno mΣx) diviso n. Questa pagina costruisce la tabella di quelle somme, inserisce i tuoi numeri in entrambe le formule e mostra ogni riga del procedimento, perché la tabella è la parte che controlla l'insegnante.
Pendenza e intercetta restano frazioni esatte. Su dati fatti di numeri interi, decimali e frazioni sono sempre razionali, quindi una pendenza di 162/35 viene stampata come 162/35 e non come 4.6286, che ne è un arrotondamento. Il coefficiente di correlazione r è una radice quadrata, quindi compare come radicale con il decimale accanto. Il pulsante Copia ti dà la retta in decimali, pronta per un foglio di calcolo.
Scrivi ogni punto come una riga con quattro colonne: x, y, xy e x². Somma ogni colonna e conta i punti. Per x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 si ottiene n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 e Σx² = 55.
m = (nΣxy meno ΣxΣy) / (nΣx² meno (Σx)²). Qui è (5 × 66 meno 15 × 20) / (5 × 55 meno 15²) = 30 / 50 = 0.6. Tienila come frazione se non viene un decimale breve.
b = (Σy meno mΣx) / n. Qui (20 meno 0.6 × 15) / 5 = 11/5 = 2.2. Usa la pendenza esatta del passaggio precedente, non una arrotondata.
y = 0.6x + 2.2. Verifica che passi per il punto delle medie (3, 4): 0.6 × 3 + 2.2 = 4. Se non ci passa, una delle somme è sbagliata.
Calcola r, oppure guarda i residui. Qui r = √15/5, circa 0.7746, e i residui sono -0.8, 0.6, 1, -0.6 e -0.2, con quadrati che sommano 2.4.
Ogni riga è un insieme di dati inserito nel calcolatore qui sopra. Pendenza e intercetta sono esatte; r è mostrato come radicale con il suo decimale.
| Valori di x | Valori di y | Retta di regressione | r | r² |
|---|---|---|---|---|
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2, 4, 5, 4, 5 | y = 0.6x + 2.2 | √15/5 ≈ 0.7746 | 0.6 |
| 0, 1, 2, 3 | 7, 5, 3, 1 | y = -2x + 7 | -1 | 1 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 3, 7, 8, 12, 15 | y = 1.45x + 0.3 | 29√215/430 ≈ 0.9889 | 841/860 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 52, 58, 61, 67, 70, 76 | y = (162/35)x + 47.8 | 9√15/35 ≈ 0.9959 | 243/245 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 3, 1, 4, 1, 5 | y = 0.4x + 1.6 | √2/4 ≈ 0.3536 | 0.125 |
| 1, 3 | 2, 8 | y = 3x - 1 | 1 | 1 |
| -2, -1, 0, 1, 2 | 4, 1, 0, 1, 4 | y = 2 | 0 | 0 |
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5Le somme sono Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 e Σx² = 55 con n = 5. La pendenza è 30/50 = 0.6 e l'intercetta è 11/5 = 2.2, quindi la retta è y = 0.6x + 2.2. I residui sono -0.8, 0.6, 1, -0.6 e -0.2, che sommano 0, e i loro quadrati sommano 2.4. La correlazione è r = √15/5, circa 0.7746: forte e positiva.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76Le medie sono 3.5 ore e 64 punti. La pendenza è 162/35, circa 4.63 punti all'ora, e l'intercetta è 64 meno (162/35) × 3.5 = 47.8, quindi y = (162/35)x + 47.8 con r ≈ 0.9959. A 4.5 ore la retta prevede 2402/35, circa 68.63. A 12 ore prevede circa 103.34 in un test con punteggio massimo 100: un'estrapolazione che i dati non possono sostenere.
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1Ogni passo di 1 in x fa scendere y di 2, quindi i punti stanno esattamente su y = -2x + 7. Il calcolatore trova quella retta, ogni residuo è 0, la somma dei quadrati dei residui è 0, e r = -1: una correlazione negativa perfetta.
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15La retta è y = 1.45x + 0.3 con r ≈ 0.9889, e passa per il punto delle medie (6, 9). Per x = 7, dentro i dati, prevede 10.45, ed è un'interpolazione di cui ti puoi fidare quanto dell'adattamento. Per x = 60 prevede 87.3, cinquanta unità oltre l'ultimo punto, dove niente nei dati dice che l'andamento regga ancora.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25La retta di regressione è y = 5x - 10/3 con r ≈ 0.9599, che sembra ottimo. I residui sono 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3 e 10/3: positivi a entrambe le estremità, negativi al centro. Quella forma a U significa che i punti stanno su una curva, e la regressione quadratica li adatta esattamente come y = x².
Costruisci una tabella con x, y, xy e x² per ogni punto e somma le colonne. La pendenza è m = (nΣxy meno ΣxΣy) / (nΣx² meno (Σx)²) e l'intercetta è b = (Σy meno mΣx) / n. Per x da 1 a 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 si ottiene m = 30/50 = 0.6 e b = 11/5 = 2.2, quindi y = 0.6x + 2.2. Questa pagina stampa la stessa tabella e compila entrambe le formule, così puoi controllare ogni riga.
La retta che rende la somma dei quadrati dei residui la più piccola possibile, dove un residuo è la y reale di un punto meno la y prevista dalla retta. È unica ogni volta che i valori di x non sono tutti uguali. Per i cinque punti qui sopra nessun'altra retta porta la somma dei quadrati sotto 2.4.
La pendenza è quanto cambia y, in media, per ogni aumento di 1 in x, in unità di y per unità di x. L'intercetta è la y prevista quando x è 0. L'intercetta ha senso solo se x = 0 sta dentro i dati o vicino; una regressione del peso sull'altezza ha un'intercetta ad altezza 0 che non descrive nessuna persona reale.
Sì. In statistica la retta di migliore approssimazione è la retta di regressione dei minimi quadrati, che è ciò che calcola questo calcolatore. Una retta tracciata a occhio sulla carta ne è una stima, e dovrebbe passare per il punto delle medie, come fa sempre la retta calcolata.
Dipende dall'ambito. r² è la quota della variabilità di y spiegata dalla retta, quindi 0.9 significa il 90%. Le misure di un esperimento di fisica controllato arrivano spesso a 0.99; i dati sulle persone spesso si fermano tra 0.3 e 0.5 e sono comunque utili. Una r² alta non dimostra che la retta sia la forma giusta, quindi controlla anche i residui.
Due punti definiscono una retta, quindi il calcolatore ne accetta due, ma una retta per due punti si adatta sempre perfettamente e non dice nulla sui dati. Con tre o più punti i residui, r e r² cominciano a portare informazione, e più punti rendono la pendenza più affidabile.
Dentro l'intervallo dei tuoi valori di x, sì: è un'interpolazione, ed è buona quanto l'adattamento. Fuori dall'intervallo è un'estrapolazione, e niente nei dati dice che l'andamento continui. L'esempio del punteggio del test in questa pagina prevede circa 103 punti per 12 ore di studio, in un test con massimo 100.
Perché pendenza e intercetta di una retta dei minimi quadrati su dati razionali sono numeri razionali, e la frazione è il valore esatto. 162/35 è la pendenza; 4.6286 ne è un arrotondamento, e ogni previsione fatta con l'arrotondamento si porta dietro l'errore. Il pulsante Copia ti dà i decimali quando ti servono.
