Il caso semplice: 2⁵
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2^5Cinque 2 moltiplicati: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. È l'unico caso in cui l'esponente conta davvero i fattori, e vale la pena scriverlo per esteso una volta per vedere i casi successivi come deviazioni da questo.
Calcolatrice potenze
Potenze con la regola indicata, comprese quelle negative e frazionarie.
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Un esponente conta i fattori, finché smette di essere un conteggio
Per un esponente intero non c'è niente da spiegare: 2⁵ significa cinque 2 moltiplicati tra loro, cioè 32. I casi interessanti sono quelli in cui l'esponente non conta più i fattori, e sono tre: zero, negativo e frazionario. Dietro ciascuno c'è una regola, e ogni regola deriva dallo stesso fatto: moltiplicando potenze con la stessa base, gli esponenti si sommano.
Zero: 2³ ÷ 2³ fa 1, e sottraendo gli esponenti si ottiene 2⁰, quindi 2⁰ deve valere 1, per ogni base tranne lo 0 stesso. Negativo: 2³ ÷ 2⁵ fa 1/4, e sottraendo si ottiene 2⁻², quindi un esponente negativo è un RECIPROCO e mai un risultato negativo. Frazionario: 2^(1/2) per 2^(1/2) fa 2¹, quindi 2^(1/2) è il numero che al quadrato dà 2, cioè la radice quadrata.
Qui tutto è esatto. 2⁻³ è 1/8 e non 0.125, (2/3)³ è 8/27, 9^(1/2) è esattamente 3, e 8^(1/2) resta 2√2 invece di ridursi a 2.828. Accanto alla risposta esatta trovi un decimale ogni volta che esiste, indicato come approssimazione quando lo è.
Cosa notare
- Un esponente negativo dà un reciproco, non un numero negativo. 2⁻³ è 1/8 ed è positivo; solo una BASE negativa può rendere negativo il risultato.
- Lo zero come esponente dà 1 per ogni base tranne zero. 0⁰ non ha un valore condiviso, e 0 elevato a una potenza negativa significherebbe dividere per zero.
- Un esponente frazionario è una radice: il denominatore dice quale radice e il numeratore è la potenza. 8^(2/3) è la radice cubica di 8, al quadrato, cioè 4.
- Una frazione elevata a potenza eleva entrambe le parti. (2/3)³ è 8/27: anche il denominatore va al cubo, ed è il passaggio che si salta più spesso.
- Il segno di una base negativa lo decide solo l'esponente: un esponente pari accoppia i segni meno e dà un risultato positivo, uno dispari ne lascia uno in più.
- Le parentesi cambiano tutto. (−2)⁴ fa 16 ma −2⁴ fa −16, perché senza parentesi la potenza lega più forte del segno meno.
Come calcolare una potenza
Controlla prima il segno dell'esponente
Se è negativo, scrivi il reciproco e rendi positivo l'esponente: 2⁻³ diventa 1/2³. Farlo per primo evita il classico errore di rispondere −8.
Controlla se è una frazione
Un esponente frazionario è una radice. Il denominatore della frazione sceglie la radice e il numeratore è la potenza: x^(m/n) è la radice n-esima di x^m.
Gestisci una base frazionaria
Eleva numeratore e denominatore separatamente. (2/3)³ è 2³ fratto 3³, cioè 8/27.
Moltiplica quello che resta
Un esponente intero ora è solo una moltiplicazione ripetuta. Tieni d'occhio il segno: un numero dispari di fattori negativi lascia un risultato negativo.
Completa il reciproco, se c'era
Capovolgi il risultato appena calcolato. 1/2³ è 1/8, e controlla che il risultato sia minore di 1, che è sempre ciò che dà un esponente negativo su una base maggiore di 1.
Le potenze e la regola dietro ciascuna
I quattro casi che non sono una semplice moltiplicazione ripetuta, accanto a quelli che lo sono.
| Potenza | Regola | Risultato esatto | Come decimale |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | moltiplicazione ripetuta | 32 | 32 |
| 2⁰ | qualsiasi base tranne 0 elevata a 0 fa 1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | l'esponente negativo è un reciproco | 1/8 | 0.125 |
| (2/3)³ | eleva numeratore e denominatore | 8/27 | 0.296… |
| 9^(1/2) | l'esponente frazionario è una radice | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | radice semplificata, non arrotondata | 2√2 | 2.828… |
| (−2)⁴ | esponente pari, i meno si accoppiano | 16 | 16 |
| (−2)³ | esponente dispari, resta un meno | −8 | −8 |
Esempi svolti
Un esponente negativo: 2⁻³
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2^-3Non −8. Un esponente negativo significa un reciproco: 2⁻³ è 1/2³ = 1/8. Il motivo è la divisione: 2² ÷ 2⁵ fa 1/8, e sottraendo gli esponenti si ottiene 2⁻³, quindi i due devono essere uguali. Il risultato è positivo, e minore di 1.
Una frazione come base: (2/3)³
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(2/3)^3Entrambe le parti vanno al cubo: 2³ fratto 3³, cioè 8/27. Elevare al cubo solo il numeratore, una svista molto comune, darebbe 8/3, più di 8 volte troppo grande. Come decimale è 0.296… e non termina mai, quindi la frazione è la risposta onesta.
Un esponente frazionario: 9^(1/2)
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9^1/2Una potenza di 1/2 è una radice quadrata, quindi questo è √9 = 3 esatto. Il motivo: 9^(1/2) per 9^(1/2) somma gli esponenti e dà 9¹, quindi 9^(1/2) deve essere il numero che al quadrato fa 9.
Quando la radice non viene esatta: 8^(1/2)
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8^1/2√8 è irrazionale, quindi la risposta resta un radicale, semplificato in 2√2 portando fuori il fattore quadrato 4. Il decimale 2.828… sta accanto come approssimazione, mai al suo posto.
Il segno di una base negativa: (−2)⁴ e (−2)³
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(-2)^4Quattro fattori negativi si accoppiano in due prodotti positivi, quindi (−2)⁴ = 16. Tre ne lasciano uno spaiato, quindi (−2)³ = −8. Il segno lo decide solo l'esponente, e nota che −2⁴ senza parentesi significa −(2⁴) = −16, che è una domanda diversa.
Errori comuni
- Leggere un esponente negativo come un risultato negativo. 2⁻³ è 1/8, non −8: il segno meno sposta la potenza al denominatore, non passa al risultato.
- Moltiplicare la base per l'esponente. 2⁵ fa 32, non 10. L'esponente conta i fattori; non è un moltiplicatore.
- Elevare solo il numeratore di una frazione. (2/3)³ è 8/27, non 8/3: anche il denominatore va al cubo.
- Togliere le parentesi attorno a una base negativa. (−2)⁴ fa 16 mentre −2⁴ fa −16, perché una potenza lega più forte di un segno meno.
- Pensare che 0⁰ valga 1 o 0. Non ha un valore condiviso; ambiti diversi scelgono convenzioni diverse e questa pagina preferisce rifiutarsi piuttosto che sceglierne una.
- Arrotondare una radice invece di semplificarla. 8^(1/2) è esattamente 2√2; 2.83 è un'approssimazione, e smette di essere utile appena il valore viene elevato di nuovo al quadrato.
Domande frequenti sulle potenze
Cosa significa un esponente negativo?
Un reciproco. x⁻ⁿ è 1/xⁿ, quindi 2⁻³ è 1/8, un numero positivo minore di 1. Deriva dalla divisione tra potenze: 2² ÷ 2⁵ fa 1/8 e sottraendo gli esponenti si ottiene 2⁻³, quindi le due cose devono coincidere.
Perché qualsiasi numero elevato a zero fa 1?
Perché dividendo una potenza per sé stessa si ottiene 1, e sottraendo gli esponenti si ottiene zero: 2³ ÷ 2³ = 1 e anche = 2⁰. L'unica eccezione è 0⁰, che non ha un valore condiviso: lo schema che impone 1 ha bisogno di una base per cui si possa dividere.
Cosa significa un esponente frazionario?
Una radice. Il denominatore dice quale radice e il numeratore è una potenza: x^(1/2) è la radice quadrata, x^(1/3) la radice cubica, e x^(2/3) è la radice cubica di x al quadrato. Deriva dal prodotto tra potenze: x^(1/2) per x^(1/2) fa x¹.
Come si eleva a potenza una frazione?
Eleva numeratore e denominatore separatamente: (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27. Farlo solo sopra è l'errore più comune in questo caso, e sbaglia di un fattore pari al denominatore elevato a quella potenza.
(−2)⁴ è uguale a −2⁴?
No, e vale la pena ricordarlo. (−2)⁴ eleva −2 alla quarta e dà +16. Senza parentesi, −2⁴ significa −(2⁴) = −16, perché l'elevamento a potenza avviene prima che si applichi il segno meno. Metti sempre tra parentesi una base negativa.
Quando una potenza di un numero negativo è positiva?
Quando l'esponente è pari. Ogni coppia di fattori negativi dà un prodotto positivo, quindi un numero pari di fattori non lascia niente di negativo e uno dispari lascia esattamente un segno meno. (−3)² fa 9 e (−3)³ fa −27.
Quanto fa 2 elevato a 1/2?
La radice quadrata di 2, che è irrazionale, quindi la risposta esatta è √2 e 1.414… ne è solo un'approssimazione. Questa pagina mantiene il radicale e lo semplifica quando può: 8^(1/2) viene scritto 2√2 invece di restare √8.
Questa calcolatrice fa anche le radici cubiche?
Calcola in modo esatto gli esponenti con radice quadrata e le potenze intere di qualsiasi base, quindi x^(1/2) e x^(3) vanno bene entrambe. Le altre radici frazionarie come x^(1/3) sono il territorio del corso di matematica di Coddy, con i suoi passaggi dedicati alle radici, dove è proprio il procedimento a essere insegnato.
