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La parabola che meglio si adatta ai tuoi punti, con coefficienti esatti e R².
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Alcuni dati salgono e poi scendono, o scendono e poi salgono: l'altezza di una palla lanciata, il profitto a prezzi diversi, il carburante che un'auto consuma a velocità diverse. Una retta attraverso dati così ha la forma sbagliata, per quanto ben posizionata. La regressione quadratica adatta invece una parabola, y = ax² + bx + c, e sceglie a, b e c in modo che la somma dei quadrati degli scarti verticali dai punti sia la più piccola possibile. È la stessa idea dei minimi quadrati della regressione lineare, con un coefficiente in più da scegliere.
Minimizzare i quadrati degli scarti porta a tre equazioni in a, b e c, dette equazioni normali, costruite dalle somme di x, x², x³, x⁴, y, xy e x²y. Una calcolatrice grafica le risolve in virgola mobile. Questa pagina le risolve con frazioni esatte, quindi un coefficiente di -8/7 viene stampato come -8/7 e non come -1.142857, e anche R² è una frazione esatta.
Sotto il risultato sono elencati il valore previsto e il residuo di ogni punto. Un buon adattamento quadratico lascia residui che sembrano rumore, sparsi sopra e sotto lo zero senza uno schema. Se curvano ancora, o crescono con regolarità lungo la tabella, nemmeno la parabola è la forma giusta, e vale la pena provare un altro modello.
Per ogni punto calcola x, x², x³, x⁴, y, xy e x²y, poi somma ogni colonna e conta i punti. Per x = 0, 1, 2, 3 e y = 1, 2, 5, 11: n = 4, Σx = 6, Σx² = 14, Σx³ = 36, Σx⁴ = 98, Σy = 19, Σxy = 45 e Σx²y = 121.
aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy e aΣx² + bΣx + cn = Σy. Con le somme qui sopra: 98a + 36b + 14c = 121, 36a + 14b + 6c = 45 e 14a + 6b + 4c = 19.
Elimina una lettera alla volta, tenendo le frazioni esatte. Questo sistema dà a = 1.25, b = -0.45 e c = 1.05, quindi y = 1.25x² - 0.45x + 1.05.
Inserisci ogni x nella curva e sottrai la previsione dalla y reale. Qui i residui sono -0.05, 0.15, -0.15 e 0.05, i loro quadrati sommano 0.05, e R² = 1214/1215, circa 0.9992.
Ogni riga è un insieme di dati inserito nella calcolatrice qui sopra, con i coefficienti esatti e l'R² che restituisce.
| Valori di x | Valori di y | Parabola di regressione | R² |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 | 1, 2, 5, 11 | y = 1.25x² - 0.45x + 1.05 | 1214/1215 ≈ 0.9992 |
| -2, -1, 0, 1, 2, 3 | 9, 4, 1, 0, 1, 4 | y = x² - 2x + 1 | 1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2, 6, 11, 13, 12, 8 | y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 | 887/917 ≈ 0.9673 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 2, 17, 22, 17, 2 | y = -5x² + 20x + 2 | 1 |
| 1, 2, 3 | 4, 9, 20 | y = 3x² - 4x + 5 | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 0, 1, 4, 9, 16, 25 | y = x² | 1 |
x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11Le equazioni normali danno a = 1.25, b = -0.45 e c = 1.05, quindi y = 1.25x² - 0.45x + 1.05. Le previsioni sono 1.05, 1.85, 5.15 e 10.95, i residui -0.05, 0.15, -0.15 e 0.05, e R² = 1214/1215, circa 0.9992.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8La parabola di regressione è y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 con R² = 887/917, circa 0.9673. Poiché a è negativo la curva ha un massimo, in x = 33/8 = 4.125 e y = 697/56, circa 12.45. Una retta attraverso gli stessi punti arriva solo a r² = 375/917, circa 0.4089, perché non può curvare.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2Altezze in metri a intervalli di un secondo. L'adattamento è esatto: y = -5x² + 20x + 2 con tutti i residui a 0 e R² = 1. Il -5 è metà dell'accelerazione di gravità arrotondata a 10 m/s², il 20 è la velocità di lancio e il 2 l'altezza di lancio. Il massimo è in x = 2, y = 22.
x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4Sono i valori di (x - 1)², e la calcolatrice restituisce y = x² - 2x + 1, la stessa parabola svolta, con R² = 1 e tutti i residui a 0. È un modo rapido per verificare che un insieme di valori venga davvero da un'unica funzione di secondo grado.
