Calcolatrice arrotondamento

Arrotondare è un confronto, non una regola

Per arrotondare un numero ti bastano due candidati: il multiplo della posizione scelta subito sotto e quello subito sopra. 3.472 a un decimale sta tra 3.4 e 3.5, dista 0.072 dal primo e 0.028 dal secondo, quindi vince 3.5. "Guarda la cifra successiva e arrotonda per eccesso se è 5 o più" è una scorciatoia proprio per questo confronto, ed è un'ottima scorciatoia.

La scorciatoia diventa una vera scelta solo a metà strada, dove nessuno dei due vicini è più vicino. Lì la risposta dipende davvero dalla convenzione che usi, e ce ne sono sei di uso comune: l'arrotondamento scolastico allontana da zero, una banca sceglie il vicino pari, la funzione FLOOR di un foglio di calcolo scende sempre e il troncamento butta via il resto. Questa pagina mostra tutte e sei affiancate sul tuo numero, perché è la domanda a cui una pagina sull'arrotondamento dovrebbe rispondere.

Per accorgersi di un caso a metà serve un'aritmetica esatta. In virgola mobile binaria 2.675 è in realtà 2.67499999999999982…, ed è per questo che quasi ogni calcolatrice, foglio di calcolo e linguaggio di programmazione lo arrotonda a 2.67 sostenendo che non fosse a metà. Qui il numero è conservato come frazione esatta, quindi 2.675 è un caso a metà, la pagina lo dice e l'articolo spiega perché l'altra tua calcolatrice non era d'accordo.

Cosa notare

• I due vicini sono sempre multipli della posizione a cui arrotondi. Alla decina sono 1270 e 1280; a due decimali, 2.67 e 2.68.
• Conta solo la distanza, non le cifre. La regola della cifra funziona perché una cifra da 5 in su È la metà lontana dell'intervallo: è un'abbreviazione del confronto, non una legge a parte.
• Le cifre significative si contano dalla prima cifra diversa da zero, non dalla virgola. 0.004567 a due cifre significative è 0.0046: gli zeri iniziali servono solo a indicare la posizione, non sono cifre significative.
• Le convenzioni sono in disaccordo solo nei casi a metà. Fuori da quei casi, metà per eccesso, metà al pari e metà per difetto danno la stessa risposta, ed è per questo che quasi nessuno si accorge che esiste più di una regola.
• La regola scolastica è "lontano da zero", non "verso più infinito". Per questo con quella regola -2.5 diventa -3, mentre una funzione di arrotondamento per eccesso (ceiling) darebbe -2.
• Arrotondare due volte non equivale ad arrotondare una volta sola. 2.446 a due decimali è 2.45, e arrotondando QUESTO a un decimale si ottiene 2.5; arrotondando direttamente l'originale a un decimale si ottiene invece 2.4.

Come arrotondare un numero

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   Decidi a cosa arrotondare

   Un numero di decimali, una posizione (decine, centinaia) oppure un numero di cifre significative. Da qui in poi il lavoro è lo stesso, qualunque sia la scelta.

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   Trova i due vicini

   Il multiplo di quella posizione subito sotto il tuo numero e quello subito sopra. Per 3.472 a un decimale: 3.4 e 3.5.

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   Guarda quale è più vicino

   Confronta le distanze (0.072 contro 0.028) oppure usa la scorciatoia: guarda la prima cifra dopo la posizione e arrotonda per eccesso se è 5 o più. Le due strade rispondono alla stessa domanda.

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   Se è esattamente a metà, applica una convenzione

   La regola scolastica arrotonda lontano da zero: 2.5 diventa 3 e -2.5 diventa -3. Statistici e banche spesso arrotondano invece al vicino pari, quindi 2.5 diventa 2 e 3.5 diventa 4.

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   Mantieni la posizione a cui hai arrotondato

   Arrotondare 1274 alle centinaia dà 1300, non 13. Gli zeri contano: dicono fino a quale posizione la risposta è precisa.

Gli stessi numeri, arrotondati in quattro modi

Arrotondamento scolastico (da 5 in su si arrotonda per eccesso) applicato a ogni posizione. Nota i numeri che non si spostano: sono già multipli esatti di quella posizione.

Esempi svolti

3.472

2.675

-2.5

0.004567

9.96

149.5

Errori comuni

• Arrotondare a tappe. Parti ogni volta dal numero ORIGINALE: 2.446 portato a due decimali e poi a uno dà 2.5, ma arrotondato direttamente a un decimale è 2.4.
• Togliere gli zeri che indicano la posizione. 1274 alle centinaia è 1300; scrivere 13 cambia il numero di un fattore cento.
• Contare le cifre significative dalla virgola. In 0.004567 la prima cifra significativa è il 4, quindi due cifre significative danno 0.0046 e non 0.00.
• Pensare che il comportamento della calcolatrice nei casi a metà sia la matematica. ROUND di un foglio di calcolo arrotonda un caso a metà lontano da zero, round() di Python lo arrotonda al pari, ed entrambi sono difendibili: il disaccordo riguarda la convenzione, non la correttezza.
• Leggere "per eccesso" come "verso più infinito" con i negativi. Con la regola scolastica -2.5 diventa -3, perché la regola della cifra lavora sul valore assoluto e ignora il segno.
• Dimenticare che un numero arrotondato è un'approssimazione. Una volta scritto 3.5, lo 0.028 è perso per sempre: arrotonda alla FINE di un calcolo, mai a metà.

Domande frequenti sull'arrotondamento